2007 AMC 12A 第 21 题

Question

函数

f(x)=ax^2+bx+c

的零点之和、零点之积以及系数之和都相等。它们的公共值还必须等于下列哪一项？

The sum of the zeros, the product of the zeros, and the sum of the coefficients of the function

f(x)=ax^2+bx+c

are equal. Their common value must also be which of the following?

x^2

的系数

the coefficient of

x^2

x

的系数

the coefficient of

x

图像

y=f(x)

的

y

截距

the

y

-intercept of the graph of

y=f(x)

图像

y=f(x)

的一个

x

截距

one of the

x

-intercepts of the graph of

y=f(x)

图像

y=f(x)

的

x

截距的平均数

the mean of the

x

-intercepts of the graph of

y=f(x)

答案：A

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1660

小提示：

对

ax^2+bx+c

，零点之和为

-\tfrac ba

，零点之积为

\tfrac ca

。

For

ax^2+bx+c,

the sum of zeros is

-\tfrac ba

and the product is

\tfrac ca

大提示：

令它们相等得到

c=-b

，所以系数之和

a+b+c

会化简。

Setting these equal gives

c=-b,

so the sum of coefficients

a+b+c

simplifies

解答：

零点之积为

\tfrac ca

，零点之和为

-\tfrac ba

。令它们相等，得

c=-b

。

于是系数之和为

a+b+c=a

，这就是

x^2

的系数。

其他选项一般不成立：例如

f(x)=-2x^2-4x+4

的公共值为

-2

，但

x

的系数是

-4

，

y

截距是

4

，

x

截距是

-1\pm\sqrt3

，它们的平均数是

-1

。

因此，正确答案是 A。

The product of the zeros is

\tfrac ca

and the sum of the zeros is

-\tfrac ba.

Equating them gives

c=-b.

Then the sum of the coefficients is

a+b+c=a,

which is the coefficient of

x^2.

The other choices fail in general: for

f(x)=-2x^2-4x+4

the common value is

-2,

but the coefficient of

x

is

-4,

the

y

-intercept is

4,

the

x

-intercepts are

-1\pm\sqrt3,

and their mean is

-1.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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