2004 AMC 12B 第 21 题

Question

方程

2x^2 + xy + 3y^2

- 11x - 20y + 40 = 0

的图像是在

xy

平面第一象限内的一个椭圆。令

a

和

b

分别为椭圆上所有点

(x, y)

的

\dfrac{y}{x}

的最大值和最小值。

a + b

的值是多少？

The graph of

2x^2 + xy + 3y^2

- 11x - 20y + 40 = 0

is an ellipse in the first quadrant of the

xy

-plane. Let

a

and

b

be the maximum and minimum values of

\dfrac{y}{x}

over all points

(x, y)

on the ellipse. What is the value of

a + b?

3

\sqrt{10}

\dfrac{7}{2}

\dfrac{9}{2}

2\sqrt{14}

答案：C

知识点：椭圆切线韦达定理

难度评级：2080

小提示：

\dfrac{y}{x}

的极值来自与椭圆相切的直线

y = mx

。

The extreme values of

\dfrac{y}{x}

come from lines

y = mx

tangent to the ellipse

大提示：

代入

y = mx

，并令所得关于

x

的二次方程的判别式为零。

Substitute

y = mx

and set the discriminant of the resulting quadratic in

x

to zero

解答：

斜率

a

和

b

是使直线

y = mx

与椭圆恰好交于一点的

m

值。代入得

\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0\text{。} \end{aligned}

令判别式为零，得到

-80m^2 + 280m - 199 = 0

。由 Vieta 公式，

a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}

。

因此正确答案是 C。

The slopes

a

and

b

are the values of

m

for which

y = mx

meets the ellipse in exactly one point. Substituting gives

\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}

Setting its discriminant to zero yields

-80m^2 + 280m - 199 = 0.

By Vieta’s formulas,

a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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