2025 AMC 12B Problema 4

Question

El valor del número de dos dígitos

\underline{a}\,\underline{b}

en base siete es igual al valor del número de dos dígitos

\underline{b}\,\underline{a}

en base nueve. ¿Cuánto vale

a + b

?

The value of the two-digit number

\underline{a}\,\underline{b}

in base seven equals the value of the two-digit number

\underline{b}\,\underline{a}

in base nine. What is

a + b?

7

9

10

11

14

Respuesta: A

Conceptos:base numérica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Escribe cada número según su base:

\underline{a}\,\underline{b}

es

7a + b

y

\underline{b}\,\underline{a}

es

9b + a

.

Write each number in terms of its base:

\underline{a}\,\underline{b}

is

7a + b

and

\underline{b}\,\underline{a}

is

9b + a

Pista grande:

Iguala

7a + b = 9b + a

y simplifica hasta obtener una razón entre

a

y

b

.

Set

7a + b = 9b + a

and simplify to a ratio between

a

and

b

Solución:

Al imponer

7a + b = 9b + a

, obtenemos

6a = 8b,

así que

3a = 4b.

Por tanto,

a=4t

y

b=3t.

Como ambos son dígitos en base siete y

a\ne0,

solo funciona

t=1

. Así,

a=4, b=3,

y en efecto

43_7 = 31 = 34_9.

Por tanto,

a+b=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting

7a + b = 9b + a

gives

6a = 8b,

so

3a = 4b.

Thus

a=4t

and

b=3t.

Because both are base-seven digits and

a\ne0,

only

t=1

works. Hence

a=4, b=3,

and indeed

43_7 = 31 = 34_9.

Therefore

a+b=7.

Thus, the correct answer is A.