2025 AMC 12B Problema 25

Question

Tres circunferencias concéntricas tienen radios

1,

2,

3.

Un triángulo equilátero de lado

s

tiene un vértice sobre cada circunferencia. ¿Cuánto vale

s^2

?

Three concentric circles have radii

1,

2,

3.

An equilateral triangle with side length

s

has one vertex on each circle. What is

s^2?

6

\dfrac{25}{4}

\dfrac{13}{2}

\dfrac{27}{4}

7

Si un punto está a distancias

p, q, r

de los vértices de un triángulo equilátero de lado

a,

existe una relación simétrica entre

p^2, q^2, r^2, a^2

For a point at distances

p, q, r

from the vertices of an equilateral triangle of side

a,

there is a symmetric relation among

p^2, q^2, r^2, a^2

Usa

3(p^4 + q^4 + r^4 + a^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + a^2)^2

, y sustituye

p, q, r = 1, 2, 3

.

Use

3(p^4 + q^4 + r^4 + a^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + a^2)^2

with

p, q, r = 1, 2, 3

Para el centro común a distancias

1, 2, 3

de los vértices de un triángulo equilátero de lado

s,

se cumple la identidad

3(1 + 16 + 81 + s^4)

= (1 + 4 + 9 + s^2)^2

. Esto se simplifica a

2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,

es decir

(s^2 - 7)^2 = 0,

así que

s^2 = 7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the common center at distances

1, 2, 3

from the vertices of an equilateral triangle of side

s,

the identity

3(1 + 16 + 81 + s^4)

= (1 + 4 + 9 + s^2)^2

holds. This simplifies to

2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,

i.e.

(s^2 - 7)^2 = 0,

so

s^2 = 7.

Thus, the correct answer is E.

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