2025 AMC 12B Problema 13

Question

Un círculo se ha dividido en

6

sectores de distintos tamaños. Luego

2

de los sectores se pintan de rojo,

2

de verde y

2

de azul, de modo que dos sectores vecinos nunca se pintan del mismo color. Abajo se muestra una de esas coloraciones.

¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A circle has been divided into

6

sectors of different sizes. Then

2

of the sectors are painted red,

2

painted green, and

2

painted blue so that no two neighboring sectors are painted the same color. One such coloring is shown below.

How many different colorings are possible?

12

16

18

24

28

Respuesta: D

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Como los sectores del mismo color no pueden tocarse, los dos sectores de cada color forman un par no adyacente.

Because same-colored sectors cannot touch, the two sectors of each color form a non-adjacent pair

Pista grande:

Cuenta las maneras de dividir los

6

sectores en tres pares no adyacentes y luego asigna los tres colores a los pares.

Count the ways to split the

6

sectors into three non-adjacent pairs, then assign the three colors to the pairs

Solución:

Los dos sectores de cada color deben formar un par no adyacente, así que una coloración es una forma de dividir los

6

sectores dispuestos en ciclo en tres pares no adyacentes junto con una asignación de los tres colores. Los pares no adyacentes son las aristas del complemento del

6

-ciclo, el prisma triangular, que tiene

4

emparejamientos perfectos. Asignar los tres colores de

3!

maneras da

4 \times 6 = 24

coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two sectors of each color must be a non-adjacent pair, so a coloring is a way to split the

6

cyclic sectors into three non-adjacent pairs together with an assignment of the three colors. The non-adjacent pairs are the edges of the complement of the

6

-cycle, the triangular prism, which has

4

perfect matchings. Assigning the three colors in

3!

ways gives

4 \times 6 = 24

colorings.

Thus, the correct answer is D.