2025 AMC 12A Problema 23

Question

Llamamos justo a un entero positivo si ningún dígito se usa más de una vez, no tiene

0

s, y ningún dígito es adyacente a dos dígitos mayores. Por ejemplo,

196,

23,

y

12463

son justos, pero

1546,

320,

y

34321

no lo son. ¿Cuántos enteros positivos justos hay?

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no

0

s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example,

196,

23,

and

12463

are fair, but

1546,

320,

and

34321

are not fair. How many fair positive integers are there?

511

2584

9841

17711

19682

Un número justo no tiene ningún dígito interior menor que ambos vecinos

A fair number has no interior digit smaller than both of its neighbors

Construye una disposición válida de un conjunto de dígitos elegido colocando los dígitos de mayor a menor, cada uno en algún extremo:

2^{n-1}

maneras para

n

dígitos

Build a valid arrangement of a chosen digit set by placing digits largest-to-smallest, each at either end:

2^{n-1}

ways for

n

digits

Los dígitos son distintos y se toman de

\{1, \ldots, 9\},

y “ningún dígito adyacente a dos dígitos mayores” significa que ningún dígito interior es menor que ambos vecinos.

Para un conjunto fijo de

n

dígitos, construye la disposición insertando los dígitos de mayor a menor; cada nuevo dígito (más pequeño) debe ir a uno de los dos extremos, dando

2^{n-1}

disposiciones válidas.

Sumando sobre todos los subconjuntos de dígitos no vacíos,

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The digits are distinct and drawn from

\{1, \ldots, 9\},

and “no digit adjacent to two greater digits” means no interior digit is smaller than both neighbors.

For a fixed set of

n

digits, build the arrangement by inserting digits from largest to smallest; each new (smaller) digit must go to one of the two ends, giving

2^{n-1}

valid arrangements.

Summing over all nonempty digit subsets,

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

El Problema 23 en otros años