2024 AMC 12B Problema 13

Question

Hay números reales

x,

y,

h,

y

k

que satisfacen el sistema de ecuaciones

x^2 + y^2 - 6x - 8y = h

x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.

¿Cuál es el valor mínimo posible de

h + k

?

There are real numbers

x,

y,

h,

and

k

that satisfy the system of equations

x^2 + y^2 - 6x - 8y = h

x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.

What is the minimum possible value of

h + k?

-54

-46

-34

-16

16

Suma las dos ecuaciones para obtener

h + k

como una sola expresión en

x

y

y

.

Add the two equations to get

h + k

as a single expression in

x

and

y

Completa el cuadrado:

h + k = 2(x-4)^2

+ 2(y-1)^2 - 34,

que es mínimo cuando ambos cuadrados se anulan.

Complete the square:

h + k = 2(x-4)^2

+ 2(y-1)^2 - 34,

which is smallest when both squares vanish

Sumando las ecuaciones,

\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}

Ambos términos al cuadrado son no negativos, así que el mínimo ocurre en

x = 4,

y = 1,

dando

h + k = -34.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the equations,

\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}

Both squared terms are nonnegative, so the minimum occurs at

x = 4,

y = 1,

giving

h + k = -34.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 13 en otros años