2024 AMC 12A Problema 13

Question

La gráfica de

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

tiene un eje de simetría. ¿Cuál es la reflexión del punto

\left(-1,\tfrac12\right)

respecto a este eje?

The graph of

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

has an axis of symmetry. What is the reflection of the point

\left(-1,\tfrac12\right)

over this axis?

\left(-1,-\tfrac32\right)

(-1,0)

\left(-1,\tfrac12\right)

\left(0,\tfrac12\right)

\left(3,\tfrac12\right)

Respuesta: D

Conceptos:función simetría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

El eje de simetría es la recta vertical

x=c

donde la función alcanza su mínimo

The axis of symmetry is the vertical line

x=c

where the function attains its minimum

Pista grande:

Iguala la derivada

e^{x+1}-e^{-x}=0

para hallar

c,

luego refleja

x=-1

respecto a ella

Set the derivative

e^{x+1}-e^{-x}=0

to find

c,

then reflect

x=-1

across it

Solución:

La curva

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su mínimo. Igualar la derivada

e^{x+1}-e^{-x}=0

da

x+1=-x,

así que

x=-\tfrac12.

Al reflejar

\left(-1,\tfrac12\right)

respecto a

x=-\tfrac12

se conserva la coordenada

y

y

x=-1

va a

x=0.

La imagen es

\left(0,\tfrac12\right).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The curve

y=e^{x+1}+e^{-x}-2

is symmetric about the vertical line through its minimum. Setting the derivative

e^{x+1}-e^{-x}=0

gives

x+1=-x,

so

x=-\tfrac12.

Reflecting

\left(-1,\tfrac12\right)

across

x=-\tfrac12

keeps the

y

-coordinate and sends

x=-1

to

x=0.

The image is

\left(0,\tfrac12\right).

Thus, the correct answer is D.