2024 AMC 12A Problema 12

Question

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son los enteros

a,

720,

y

b,

donde

a\lt720\lt b.

¿Cuál es la suma de las cifras del menor valor posible de

b

?

The first three terms of a geometric sequence are the integers

a,

720,

and

b,

where

a\lt720\lt b.

What is the sum of the digits of the least possible value of

b?

9

12

16

18

21

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica factor optimización

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El término central da

720^2=ab,

así que

ab=518400

The middle term gives

720^2=ab,

so

ab=518400

Pista grande:

Para minimizar

b,

toma el mayor divisor

a\lt720

de

518400

To minimize

b,

take the largest divisor

a\lt720

of

518400

Solución:

Como los términos son geométricos,

720^2=ab,

así que

ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.

Como

b=\frac{518400}{a},

minimizar

b

significa encontrar el menor divisor de

518400

mayor que

720.

No hay divisor estrictamente entre

720

y

768:

si su exponente de

5

es

2,1,

o

0,

entonces, tras dividir entre

25,5,

o

1,

respectivamente, un número de la forma

2^i3^j

tendría que estar en

(28.8,30.72),\ (144,153.6),

o

(720,768);

las potencias permitidas

i\le8,j\le4

no dan ninguno. Como

768=2^8\cdot3

es divisor, es el menor

b

posible. Su divisor emparejado es

a=\frac{518400}{768}=675,

y la suma de dígitos de

b

es

7+6+8=21.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the terms are geometric,

720^2=ab,

so

ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.

Because

b=\frac{518400}{a},

minimizing

b

means finding the smallest divisor of

518400

greater than

720.

There is no divisor strictly between

720

and

768:

if its exponent of

5

is

2,1,

or

0,

then after dividing by

25,5,

or

1,

respectively, a number of the form

2^i3^j

would have to lie in

(28.8,30.72),\ (144,153.6),

or

(720,768);

the allowed powers

i\le8,j\le4

give none. Since

768=2^8\cdot3

is a divisor, it is the least possible

b.

Its paired divisor is

a=\frac{518400}{768}=675,

and the digit sum of

b

is

7+6+8=21.

Thus, the correct answer is E.