2023 AMC 12B Problema 23

Question

Cuando se lanzan

n

dados estándar de seis caras, el producto de los números obtenidos puede ser cualquiera de

936

valores posibles. ¿Cuánto vale

n

?

When

n

standard six-sided dice are rolled, the product of the numbers rolled can be any of

936

possible values. What is

n?

11

6

8

10

9

Respuesta: A

Conceptos:factorización en primos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Un producto queda determinado por los exponentes de

2,3,5,

así que cuenta las ternas de exponentes distintas

A product is determined by the exponents of

2,3,5,

so count the distinct exponent triples

Pista grande:

Después de fijar que exactamente

k

dados muestran

5,

cuenta los pares de exponentes posibles de

2

y

3

de los otros

m=n-k

dados

After fixing that exactly

k

dice show

5,

count the possible exponent pairs of

2

and

3

from the other

m=n-k

dice

Solución:

Cada dado aporta un vector de exponentes de los primos

2,3,5

(las caras

1\to(0,0,0),

2\to(1,0,0),

3\to(0,1,0),

4\to(2,0,0),

5\to(0,0,1),

6\to(1,1,0)

), y cada producto queda determinado por la suma de estos vectores.

Fijemos el exponente de

5

exigiendo que exactamente

k

dados muestren

5,

y pongamos

m=n-k.

Para un exponente

b

de

3,

con

0\le b\le m,

los posibles exponentes

a

de

2

son precisamente

0,1,\ldots,2m-b.

Si

a\le b,

usamos

a

caras con

6

y

b-a

caras con

3.

Si

a\gt b,

usamos

b

caras con

6

y formamos los

a-b

factores restantes de

2

con caras

4

y, si hace falta, una cara

2.

La cota

a\le 2m-b

dice que esto usa a lo sumo

m

dados; completamos con caras

1

. Así, el número de pares de exponentes es

\begin{gathered} \sum_{b=0}^{m}(2m-b+1)\\ {}=\frac{(m+1)(3m+2)}2. \end{gathered}

Sumando sobre

k=0,1,\ldots,n

, o equivalentemente sobre

m=0,1,\ldots,n,

el número de productos distintos es

\begin{gathered} \sum_{m=0}^{n}\frac{(m+1)(3m+2)}2\\ {}=\frac{(n+1)^2(n+2)}2. \end{gathered}

Para

n=11

, esto es

\dfrac{12^2\cdot13}{2}=936,

así que

n=11.

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Each die contributes an exponent vector in the primes

2,3,5

(face

1\to(0,0,0),

2\to(1,0,0),

3\to(0,1,0),

4\to(2,0,0),

5\to(0,0,1),

6\to(1,1,0)

), and a product is determined by the sum of these vectors.

Fix the exponent of

5

by requiring exactly

k

dice to show

5,

and put

m=n-k.

For an exponent

b

of

3,

where

0\le b\le m,

the possible exponents

a

of

2

are precisely

0,1,\ldots,2m-b.

If

a\le b,

use

a

faces showing

6

and

b-a

showing

3.

If

a\gt b,

use

b

faces showing

6

and make the remaining

a-b

factors of

2

with faces

4

and, if needed, one face

2.

The bound

a\le 2m-b

says this uses at most

m

dice; fill unused dice with

1

’s. Thus the number of exponent pairs is

\begin{gathered} \sum_{b=0}^{m}(2m-b+1)\\ {}=\frac{(m+1)(3m+2)}2. \end{gathered}

Summing over

k=0,1,\ldots,n

, equivalently over

m=0,1,\ldots,n,

the number of distinct products is

\begin{gathered} \sum_{m=0}^{n}\frac{(m+1)(3m+2)}2\\ {}=\frac{(n+1)^2(n+2)}2. \end{gathered}

For

n=11

this is

\dfrac{12^2\cdot13}{2}=936,

so

n=11.

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años