2022 AMC 12A Problema 13

Question

Sea

\mathcal{R}

la región del plano complejo formada por todos los números complejos

z

que se pueden escribir como la suma de números complejos

z_1

y

z_2,

donde

z_1

está en el segmento de extremos

3

y

4i,

y

z_2

tiene módulo a lo sumo

1.

¿Qué entero es el más cercano al área de

\mathcal{R}

?

Let

\mathcal{R}

be the region in the complex plane consisting of all complex numbers

z

that can be written as the sum of complex numbers

z_1

and

z_2,

where

z_1

lies on the segment with endpoints

3

and

4i,

and

z_2

has magnitude at most

1.

What integer is closest to the area of

\mathcal{R}?

13

14

15

16

17

Respuesta: A

Conceptos:área fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

\mathcal{R}

es el conjunto de todos los puntos a distancia a lo sumo

1

del segmento

\mathcal{R}

is the set of all points within distance

1

of the segment

Pista grande:

El segmento tiene longitud

5,

así que

\mathcal{R}

es un rectángulo

5\times2

rematado por dos semicírculos

The segment has length

5,

so

\mathcal{R}

is a

5\times2

rectangle capped by two half-disks

Solución:

Agregar un disco de radio

1

a cada punto del segmento barre todos los puntos a distancia a lo sumo

1

de él. El segmento de

3

a

4i

tiene longitud

\sqrt{3^2+4^2}=5.

Este “estadio” es un rectángulo

5\times2

más dos semicírculos de radio

1,

con área

5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.

El entero más cercano es

13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding a disk of radius

1

to every point of the segment sweeps out all points within distance

1

of it. The segment from

3

to

4i

has length

\sqrt{3^2+4^2}=5.

This “stadium” is a

5\times2

rectangle plus two half-disks of radius

1,

with area

5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.

The closest integer is

13.

Thus, the correct answer is A.