2021 AMC 12B Fall Problema 23

Question

Se elige al azar un subconjunto de

5

enteros distintos del conjunto

\{1, 2, 3, \ldots, 30\}

. ¿Cuál es el número promedio de pares de enteros consecutivos que contiene? (Por ejemplo, el conjunto

\{1, 17, 18, 19, 30\}

contiene

2

pares de enteros consecutivos.)

What is the average number of pairs of consecutive integers in a randomly selected subset of

5

distinct integers chosen from the set

\{1, 2, 3, \ldots, 30\}?

(For example the set

\{1, 17, 18, 19, 30\}

has

2

pairs of consecutive integers.)

\dfrac{2}{3}

\dfrac{29}{36}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{29}{30}

1

Usa la linealidad de la esperanza sobre los

29

pares consecutivos posibles

(i, i+1)

.

Use linearity of expectation over the

29

possible consecutive pairs

(i, i+1)

La probabilidad de que tanto

i

como

i+1

sean elegidos es

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}

.

The probability that both

i

and

i+1

are chosen is

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}

Para cada uno de los

29

pares adyacentes

(i, i+1),

sea un indicador igual a

1

si ambos están en el subconjunto. La probabilidad de esto es

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.

Por la linealidad de la esperanza, el número esperado de pares consecutivos es

29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each of the

29

adjacent pairs

(i, i+1),

let an indicator be

1

if both are in the subset. The probability of this is

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.

By linearity of expectation, the expected number of consecutive pairs is

29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 23 en otros años