2021 AMC 12B Fall Problema 12

Question

Para

n

un entero positivo, sea

f(n)

el cociente que se obtiene al dividir la suma de todos los divisores positivos de

n

entre

n.

Por ejemplo,

\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}

¿Cuánto vale

f(768) - f(384)

?

For

n

a positive integer, let

f(n)

be the quotient obtained when the sum of all positive divisors of

n

is divided by

n.

For example,

\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}

What is

f(768) - f(384)?

\dfrac{1}{768}

\dfrac{1}{192}

1

\dfrac{4}{3}

\dfrac{8}{3}

Respuesta: B

Conceptos:suma de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Factoriza

768 = 2^8 \cdot 3

y

384 = 2^7 \cdot 3,

luego usa

\sigma

de una potencia de primo.

Factor

768 = 2^8 \cdot 3

and

384 = 2^7 \cdot 3,

then use

\sigma

of a prime power

Pista grande:

Pon ambos sobre un denominador común de

192

.

Put both over a common denominator of

192

Solución:

Como

768 = 2^8 \cdot 3,

su suma de divisores es

(2^9 - 1)(1 + 3)

= 511 \cdot 4 = 2044,

así que

f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.

Como

384 = 2^7 \cdot 3,

su suma de divisores es

(2^8 - 1)(1 + 3)

= 255 \cdot 4 = 1020,

así que

f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.

La diferencia es

\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

768 = 2^8 \cdot 3,

its divisor sum is

(2^9 - 1)(1 + 3)

= 511 \cdot 4 = 2044,

so

f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.