Question

Sea $m \ge 5$ un entero impar, y sea $D(m)$ el número de cuádruplas $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ de enteros distintos con $1 \le a_i \le m$ para todo $i$ tal que $m$ divide a $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ Existe un polinomio tal que $D(m) = q(m)$ para todos los enteros impares $m \ge 5.$ ¿Cuánto vale $c_1$ ? $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Contar cuádruplas ordenadas de residuos distintos con suma $1,2,\ldots,m$ (mediante un filtro de raíces de la unidad, usando que $m.$ es impar) da El cálculo directo confirma $m^3$ que coinciden con este cúbico.

Expandiendo, $6$ así que $m^2$ $-6m^2.$ $3$ $+3m.$ $4$ $2$ $+8m.$ $-6$ $m$ $2$ $4$ $m.$ $c_1=11.$ $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Regard $1,2,\ldots,m$ as all residues modulo $m.$ Without the distinctness condition, the first three entries are arbitrary and the fourth is determined, giving $m^3$ ordered quadruples.

Inclusion-exclusion over equal-coordinate partitions gives the remaining terms. There are $6$ choices of one equal pair, each leaving $m^2$ solutions, for $-6m^2.$ The $3$ two-pair partitions contribute $+3m.$ The $4$ triple-and-single partitions have inclusion-exclusion coefficient $2$ and contribute $+8m.$ Finally, the all-equal partition has coefficient $-6$ and one solution. (Here odd $m$ makes $2$ and $4$ invertible modulo $m.$ ) Therefore $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Hence $c_1=11.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

El Problema 25 en otros años