2020 AMC 12B Problema 13

Question

¿Cuál de las siguientes es el valor de

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}

?

Which of the following is the value of

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}?

1

\sqrt{\log_5 6}

2

\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}

\sqrt{\log_2 6} + \sqrt{\log_3 6}

Escribe

\log_2 6 = 1 + \log_2 3

y

\log_3 6 = 1 + \log_3 2

.

Write

\log_2 6 = 1 + \log_2 3

and

\log_3 6 = 1 + \log_3 2

Compara con

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2,

usando

\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1

.

Compare with

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2,

using

\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1

Sea

a = \log_2 3,

así que

\log_3 2 = \tfrac1a.

Entonces

\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}

Mientras tanto,

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2

= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}

= a + \frac1a + 2,

que es igual a la expresión anterior.

Tomando raíces cuadradas,

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}

= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

a = \log_2 3,

so

\log_3 2 = \tfrac1a.

Then

\begin{gathered} \log_2 6 + \log_3 6 \\ {}= (1 + \log_2 3) \\ \quad {}+ (1 + \log_3 2) \\ {}= 2 + a + \frac1a. \end{gathered}

Meanwhile

\left(\sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}\right)^2

= a + \frac1a + 2\sqrt{a \cdot \tfrac1a}

= a + \frac1a + 2,

which equals the expression above.

Taking square roots,

\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}

= \sqrt{\log_2 3} + \sqrt{\log_3 2}.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 13 en otros años