Question

Jason lanza tres dados justos estándar de seis caras. Luego mira los resultados y elige un subconjunto de los dados (posiblemente vacío, posiblemente los tres dados) para relanzar. Después de relanzar, gana si y solo si la suma de los números que quedan hacia arriba en los tres dados es exactamente $7.$ Jason siempre juega para optimizar sus posibilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija relanzar exactamente dos de los dados?

Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly $7.$ Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?

$\dfrac{7}{36}$

$\dfrac{5}{24}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{17}{72}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: A

Conceptos:dados (probabilidad)optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Al volver a lanzar un dado y conservar dos que suman $s,$ se gana con probabilidad $\tfrac16$ cuando $s \le 6$ y con $0$ en caso contrario. Al volver a lanzar dos dados y conservar uno de valor $v,$ la probabilidad de ganar es la cantidad de maneras en que dos dados suman $7 - v,$ dividida entre $36;$ esta es mayor cuando $v$ es menor. Para $v=1,2,3,$ las probabilidades son $\tfrac5{36},\tfrac4{36},\tfrac3{36},$ todas mayores que la probabilidad de relanzar los tres, $\tfrac{15}{216}=\tfrac{5}{72};$ para $v\ge4,$ es mejor relanzarlos todos.

Relanzar exactamente dos dados es estrictamente óptimo precisamente cuando los dos dados menores suman al menos $7$ (de modo que relanzar uno no puede llegar a $7$ ) y el dado menor es $1, 2,$ o $3$ (de modo que conservarlo supera a relanzar los tres).

Ordenemos el resultado como $u\le v\le w.$ Si $u=1,$ la única posibilidad es $(1,6,6),$ con $3$ ordenaciones. Si $u=2,$ las posibilidades $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ tienen $3+6+3=12$ ordenaciones. Si $u=3,$ elegimos $v,w$ con repetición de $\{4,5,6\};$ las seis ternas resultantes tienen $3+6+6+3+6+3=27$ ordenaciones. Por tanto, hay $3+12+27=42$ resultados ordenados válidos de $216,$ con probabilidad $\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.$

Así, A es la respuesta correcta.

Rerolling one die, keeping two dice that sum to $s,$ wins with probability $\tfrac16$ when $s \le 6$ and $0$ otherwise. Rerolling two dice, keeping a die of value $v,$ wins with probability equal to the number of ways two dice sum to $7 - v,$ over $36;$ this is largest when $v$ is smallest. For $v=1,2,3,$ these probabilities are $\tfrac5{36},\tfrac4{36},\tfrac3{36},$ all greater than the reroll-all probability $\tfrac{15}{216}=\tfrac{5}{72};$ for $v\ge4,$ rerolling all is better.

Rerolling exactly two dice is strictly best precisely when the two smallest dice sum to at least $7$ (so rerolling one cannot reach $7$ ) while the smallest die is $1, 2,$ or $3$ (so keeping it beats rerolling all three).

Sort the roll as $u\le v\le w.$ If $u=1,$ the only possibility is $(1,6,6),$ with $3$ orderings. If $u=2,$ the possibilities $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ have $3+6+3=12$ orderings. If $u=3,$ choose $v,w$ with repetition from $\{4,5,6\};$ the six resulting triples have $3+6+6+3+6+3=27$ orderings. Thus there are $3+12+27=42$ qualifying ordered rolls out of $216,$ a probability of $\dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}.$

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

El Problema 23 en otros años