2019 AMC 12B Problema 4

Question

Un entero positivo

n

satisface la ecuación

(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!.

¿Cuánto vale la suma de los dígitos de

n

?

A positive integer

n

satisfies the equation

(n+1)!+(n+2)!=440\cdot n!.

What is the sum of the digits of

n?

2

5

10

12

15

Saca

(n+1)!

como factor común del lado izquierdo

Factor

(n+1)!

out of the left side

Dividir entre

n!

da

(n+1)(n+3)=440

Dividing by

n!

gives

(n+1)(n+3)=440

Factoriza el lado izquierdo:

\begin{gathered} (n+1)!+(n+2)! \\ =(n+1)!\,[1+(n+2)] \\ =(n+1)!\,(n+3). \end{gathered}

Dividir ambos lados entre

n!

y usar

(n+1)!=(n+1)\,n!

da

(n+1)(n+3)=440.

Así

n^2+4n-437=0,

que se factoriza como

(n-19)(n+23)=0,

dando

n=19.

Su suma de dígitos es

1+9=10.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Factor the left side:

\begin{gathered} (n+1)!+(n+2)! \\ =(n+1)!\,[1+(n+2)] \\ =(n+1)!\,(n+3). \end{gathered}

Dividing both sides by

n!

and using

(n+1)!=(n+1)\,n!

gives

(n+1)(n+3)=440.

So

n^2+4n-437=0,

which factors as

(n-19)(n+23)=0,

giving

n=19.

Its digit sum is

1+9=10.

Thus, C is the correct answer.

El Problema 4 en otros años