2019 AMC 12A Problema 4

Question

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es

45

?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is

45?

9

25

45

90

120

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética simetría

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Se permite que los enteros sean negativos

The integers are allowed to be negative

Pista grande:

Sumar

-44, -43, \ldots, 44

aporta

0,

así que extiende la sucesión justo más allá de

45

.

Adding

-44, -43, \ldots, 44

contributes

0,

so extend the run just past

45

Solución:

Se permiten enteros negativos. Los enteros de

-44

a

44

suman

0,

así que los enteros de

-44

a

45

suman

45.

Esta sucesión tiene

45 - (-44) + 1 = 90

enteros. Recíprocamente, si

L

enteros consecutivos suman

45,

entonces el doble de su suma es

L

por un entero, así que

90

es múltiplo de

L.

Por tanto,

L\le90,

lo que demuestra que esta sucesión es la más larga.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Negative integers are allowed. The integers from

-44

to

44

sum to

0,

so the integers from

-44

to

45

sum to

45.

This run has

45 - (-44) + 1 = 90

integers. Conversely, if

L

consecutive integers have sum

45,

then twice their sum is

L

times an integer, so

90

is a multiple of

L.

Hence

L\le90,

proving that this run is longest.

Thus, the correct answer is D.