Question

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros consecutivos cuya suma es $45$ ?

What is the greatest number of consecutive integers whose sum is $45?$

$9$

$25$

$45$

$90$

$120$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética simetría

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Se permiten enteros negativos. Los enteros de $-44$ a $44$ suman $0,$ así que los enteros de $-44$ a $45$ suman $45.$

Esta sucesión tiene $45 - (-44) + 1 = 90$ enteros. Recíprocamente, si $L$ enteros consecutivos suman $45,$ entonces el doble de su suma es $L$ por un entero, así que $L\mid90.$ Por tanto, $L\le90,$ lo que demuestra que esta sucesión es la más larga.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Negative integers are allowed. The integers from $-44$ to $44$ sum to $0,$ so the integers from $-44$ to $45$ sum to $45.$

This run has $45 - (-44) + 1 = 90$ integers. Conversely, if $L$ consecutive integers have sum $45,$ then twice their sum is $L$ times an integer, so $L\mid90.$ Hence $L\le90,$ proving that this run is longest.

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A Problema 4

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

El Problema 4 en otros años