2019 AMC 12A Problema 25

Question

Sea

\triangle A_0 B_0 C_0

un triángulo cuyas medidas angulares son exactamente

59.999^\circ,

60^\circ,

y

60.001^\circ.

Para cada entero positivo

n

define

A_n

como el pie de la altura desde

A_{n-1}

a la recta

B_{n-1}C_{n-1}.

Del mismo modo, define

B_n

como el pie de la altura desde

B_{n-1}

a la recta

A_{n-1}C_{n-1},

y

C_n

como el pie de la altura desde

C_{n-1}

a la recta

A_{n-1}B_{n-1}.

¿Cuál es el menor entero positivo

n

para el cual

\triangle A_n B_n C_n

es obtuso?

Let

\triangle A_0 B_0 C_0

be a triangle whose angle measures are exactly

59.999^\circ,

60^\circ,

and

60.001^\circ.

For each positive integer

n

define

A_n

to be the foot of the altitude from

A_{n-1}

to line

B_{n-1}C_{n-1}.

Likewise, define

B_n

to be the foot of the altitude from

B_{n-1}

to line

A_{n-1}C_{n-1},

and

C_n

to be the foot of the altitude from

C_{n-1}

to line

A_{n-1}B_{n-1}.

What is the least positive integer

n

for which

\triangle A_n B_n C_n

is obtuse?

10

11

13

14

15

Respuesta: E

Conceptos:altura recursión persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico tiene ángulos

180^\circ - 2\alpha

.

For an acute triangle, the orthic triangle has angles

180^\circ - 2\alpha

Pista grande:

Rastrea la desviación respecto a

60^\circ:

cada paso la multiplica por

-2,

y el triángulo se vuelve obtuso cuando una desviación supera

30^\circ

Track the deviation from

60^\circ:

each step multiplies it by

-2,

and the triangle turns obtuse when a deviation exceeds

30^\circ

Solución:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico (pies de las alturas) tiene ángulos

180^\circ - 2\alpha

para cada ángulo original

\alpha.

Escribiendo un ángulo como

60^\circ + x,

el nuevo ángulo es

60^\circ - 2x,

así que cada desviación respecto a

60^\circ

se multiplica por

-2.

Las desviaciones iniciales son

\pm 0.001^\circ.

Después de

n

pasos, una desviación tiene magnitud

0.001 \cdot 2^n

grados. El triángulo se vuelve obtuso por primera vez cuando esto supera

30^\circ,

es decir

2^n \gt 30000.

Como

2^{14} = 16384

y

2^{15} = 32768,

el menor tal

n

es

15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles

180^\circ - 2\alpha

for each original angle

\alpha.

Writing an angle as

60^\circ + x,

the new angle is

60^\circ - 2x,

so each deviation from

60^\circ

is multiplied by

-2.

The initial deviations are

\pm 0.001^\circ.

After

n

steps a deviation has magnitude

0.001 \cdot 2^n

degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds

30^\circ,

i.e.

2^n \gt 30000.

Since

2^{14} = 16384

and

2^{15} = 32768,

the least such

n

is

15.

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años