2019 AMC 12A Problema 13

Question

¿De cuántas maneras se puede pintar cada uno de los enteros

2,

3,

\ldots,

9

de rojo, verde o azul de modo que cada número tenga un color distinto al de cada uno de sus divisores propios?

How many ways are there to paint each of the integers

2,

3,

\ldots,

9

either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

144

216

256

384

432

Respuesta: E

Conceptos:teoría de grafos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Los números

5

y

7

no tienen restricción; trata la cadena

2, 4, 8

y las restricciones sobre

6, 9

Numbers

5

and

7

are unconstrained; handle the chain

2, 4, 8

and the constraints on

6, 9

Pista grande:

El color de

6

debe evitar tanto

2

como

3,

así que el recuento depende de si

2

y

3

comparten color

The color of

6

must avoid both

2

and

3,

so count depends on whether

2

and

3

share a color

Solución:

Los primos

5

y

7

no tienen divisores propios aquí, dando

3

opciones cada uno.

A lo largo de la cadena

2 \to 4 \to 8,

hay

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

coloraciones. El número

9

debe diferir de

3,

dando

2

opciones una vez fijado

3

.

El número

6

debe diferir tanto de

2

como de

3.

Sumando sobre los colores de

2

y

3

(iguales en

3

pares, distintos en

6

pares), el factor combinado para

4, 8, 9, 6

suma

2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.

Multiplicando por las

9

maneras para

5

y

7

se obtiene

48 \cdot 9 = 432.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The primes

5

and

7

have no proper divisors here, giving

3

choices each.

Along the chain

2 \to 4 \to 8,

there are

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

colorings. Number

9

must differ from

3,

giving

2

choices once

3

is set.

Number

6

must differ from both

2

and

3.

Summing over the colors of

2

and

3

(equal in

3

pairs, unequal in

6

pairs), the combined factor for

4, 8, 9, 6

totals

2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.

Multiplying by the

9

ways for

5

and

7

gives

48 \cdot 9 = 432.

Thus, the correct answer is E.