2019 AMC 12A Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2019 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Los números reales positivos

x \ne 1

y

y \ne 1

satisfacen

\log_2 x = \log_y 16

y

xy = 64.

¿Cuánto vale

\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2

?

Positive real numbers

x \ne 1

and

y \ne 1

satisfy

\log_2 x = \log_y 16

and

xy = 64.

What is

\left(\log_2 \dfrac{x}{y}\right)^2?

\dfrac{25}{2}

20

\dfrac{45}{2}

25

32

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sea

a = \log_2 x

y

b = \log_2 y;

entonces

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

.

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y;

then

\log_y 16 = \dfrac{4}{b}

Pista grande:

Obtienes

ab = 4

y

a + b = 6;

observa que

\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2

You get

ab = 4

and

a + b = 6;

note

\left(\log_2\tfrac{x}{y}\right)^2 = (a - b)^2

Solución:

Sea

a = \log_2 x

y

b = \log_2 y.

Entonces

\log_y 16 = \dfrac{4}{b},

así que

a = \dfrac{4}{b},

lo que da

ab = 4.

Como

xy = 64,

tenemos

a + b = 6.

Por lo tanto

\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

a = \log_2 x

and

b = \log_2 y.

Then

\log_y 16 = \dfrac{4}{b},

so

a = \dfrac{4}{b},

giving

ab = 4.

Since

xy = 64,

we have

a + b = 6.

Therefore

\begin{aligned} \left(\log_2 \tfrac{x}{y}\right)^2 &= (a - b)^2 \\ &= (a + b)^2 - 4ab \\ &= 36 - 16 = 20. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

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