2016 AMC 12A Problema 25

Question

Sea

k

un entero positivo. Bernardo y Silvia se turnan para escribir y borrar números en una pizarra de la siguiente manera: Bernardo empieza escribiendo el menor cuadrado perfecto con

k+1

dígitos. Cada vez que Bernardo escribe un número, Silvia borra los últimos

k

dígitos de él. Bernardo escribe entonces el siguiente cuadrado perfecto, Silvia borra los últimos

k

dígitos, y este proceso continúa hasta que los dos últimos números que quedan en la pizarra difieren en al menos

2.

Sea

f(k)

el menor entero positivo que no se escribió en la pizarra. Por ejemplo, si

k=1,

los números que Bernardo escribe son

16,

25,

36,

49,

y

64,

y los números que muestran en la pizarra tras borrar Silvia son

1,

2,

3,

4,

y

6,

de modo que

f(1)=5.

¿Cuál es la suma de los dígitos de

f(2)+f(4)

+f(6)+\cdots+f(2016)

?

Let

k

be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with

k+1

digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last

k

digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last

k

digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least

2.

Let

f(k)

be the smallest positive integer not written on the board. For example, if

k=1,

then the numbers that Bernardo writes are

16,

25,

36,

49,

and

64,

and the numbers showing on the board after Silvia erases are

1,

2,

3,

4,

and

6,

and thus

f(1)=5.

What is the sum of the digits of

f(2)+f(4)

+f(6)+\cdots+f(2016)?

7986

8002

8030

8048

8064

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado perfecto funciones piso y techo dígitos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Para el caso par

k=2j,

los números mostrados son

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

para

n\ge 10^{j}

.

For even

k=2j,

the numbers shown are

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

for

n\ge 10^{j}

Pista grande:

Demuestra que

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},

luego suma sobre

j

.

Show

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},

then add over

j

Solución:

Tomemos

k=2j.

El menor cuadrado perfecto con

k+1

cifras es

10^{k}=(10^{j})^2,

y después de que Silvia borra las cifras, los números mostrados son

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

para

n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots

Sea

M=10^k.

Un salto de al menos

2

de

n

a

n+1

exige

(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,

así que escribimos

n=\frac{M}{2}+m

con

m\ge0.

El caso

m=0

produce un salto de solo

1,

de modo que el primer salto mayor tiene

m\ge1.

Sean

A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor

y

B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.

Como

M

es divisible por

4,

\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}

Por tanto, el primer salto de al menos

2

ocurre para el primer

m

tal que

m^2\lt M\le(m+1)^2.

Como

\sqrt M=10^j,

este valor es

m=10^j-1.

El último valor mostrado antes del hueco es

\frac{M}{4}+10^j-1,

así que el menor entero ausente es

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.

Sumando para

j=1,\ldots,1008,

\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ dígitos}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ dígitos}}. \end{gathered}

No hay acarreos, así que la suma de cifras es

1008\cdot(2+5)

+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Take

k=2j.

The smallest perfect square with

k+1

digits is

10^{k}=(10^{j})^2,

and after Silvia erases, the numbers shown are

\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor

for

n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots

Put

M=10^k.

A jump of at least

2

from

n

to

n+1

requires

(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,

so write

n=\frac{M}{2}+m

with

m\ge0.

The case

m=0

gives a jump of only

1,

so the first larger jump has

m\ge1.

Let

A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor

and

B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.

Because

M

is divisible by

4,

\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}

Therefore the first jump of at least

2

occurs at the first

m

for which

m^2\lt M\le(m+1)^2.

Since

\sqrt M=10^j,

this is

m=10^j-1.

The last displayed value before the gap is

\frac{M}{4}+10^j-1,

so the smallest missing integer is

f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.

Summing over

j=1,\ldots,1008,

\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}

There are no carries, so the digit sum is

1008\cdot(2+5)

+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.

Thus, the correct answer is E.