Question

Sea $k$ un entero positivo. Bernardo y Silvia se turnan para escribir y borrar números en una pizarra de la siguiente manera: Bernardo empieza escribiendo el menor cuadrado perfecto con $k+1$ dígitos. Cada vez que Bernardo escribe un número, Silvia borra los últimos $k$ dígitos de él. Bernardo escribe entonces el siguiente cuadrado perfecto, Silvia borra los últimos $k$ dígitos, y este proceso continúa hasta que los dos últimos números que quedan en la pizarra difieren en al menos $2.$ Sea $f(k)$ el menor entero positivo que no se escribió en la pizarra. Por ejemplo, si $k=1,$ los números que Bernardo escribe son $16, 25, 36, 49,$ y $64,$ y los números que muestran en la pizarra tras borrar Silvia son $1, 2, 3, 4,$ y $6,$ de modo que $f(1)=5.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)$ ?

Let $k$ be a positive integer. Bernardo and Silvia take turns writing and erasing numbers on a blackboard as follows: Bernardo starts by writing the smallest perfect square with $k+1$ digits. Every time Bernardo writes a number, Silvia erases the last $k$ digits of it. Bernardo then writes the next perfect square, Silvia erases the last $k$ digits of it, and this process continues until the last two numbers that remain on the board differ by at least $2.$ Let $f(k)$ be the smallest positive integer not written on the board. For example, if $k=1,$ then the numbers that Bernardo writes are $16, 25, 36, 49,$ and $64,$ and the numbers showing on the board after Silvia erases are $1, 2, 3, 4,$ and $6,$ and thus $f(1)=5.$ What is the sum of the digits of $f(2)+f(4)$ $+f(6)+\cdots+f(2016)?$

$7986$

$8002$

$8030$

$8048$

$8064$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado perfecto funciones piso y techo dígitos

Nivel de dificultad: 2720

Solución:

Tomemos $k=2j.$ El menor cuadrado perfecto con $k+1$ cifras es $10^{k}=(10^{j})^2,$ y después de que Silvia borra las cifras, los números mostrados son $\left\lfloor n^2/10^{k}\right\rfloor$ para $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Sea $M=10^k.$ Un salto de al menos $2$ de $n$ a $n+1$ exige $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ así que escribimos $n=M/2+m$ con $m\ge0.$ El caso $m=0$ produce un salto de solo $1,$ de modo que el primer salto mayor tiene $m\ge1.$ Sean $A=\left\lfloor n^2/M\right\rfloor$ y $B=\left\lfloor(n+1)^2/M\right\rfloor.$ Como $M$ es divisible por $4,$ $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

Por tanto, el primer salto de al menos $2$ ocurre para el primer $m$ tal que $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Como $\sqrt M=10^j,$ este valor es $m=10^j-1.$ El último valor mostrado antes del hueco es $M/4+10^j-1,$ así que el menor entero ausente es $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

Sumando para $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ No hay acarreos, así que la suma de cifras es $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Take $k=2j.$ The smallest perfect square with $k+1$ digits is $10^{k}=(10^{j})^2,$ and after Silvia erases, the numbers shown are $\left\lfloor n^2/10^{k}\right\rfloor$ for $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Put $M=10^k.$ A jump of at least $2$ from $n$ to $n+1$ requires $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ so write $n=M/2+m$ with $m\ge0.$ The case $m=0$ gives a jump of only $1,$ so the first larger jump has $m\ge1.$ Let $A=\left\lfloor n^2/M\right\rfloor$ and $B=\left\lfloor(n+1)^2/M\right\rfloor.$ Because $M$ is divisible by $4,$ $\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$

Therefore the first jump of at least $2$ occurs at the first $m$ for which $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Since $\sqrt M=10^j,$ this is $m=10^j-1.$ The last displayed value before the gap is $M/4+10^j-1,$ so the smallest missing integer is $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$

Summing over $j=1,\ldots,1008,$ $\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ digits}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ digits}}. \end{gathered}$ There are no carries, so the digit sum is $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12A Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2720

Solución:

El Problema 25 en otros años