2016 AMC 12A Problema 12

Question

En

\triangle ABC,

AB=6,

BC=7,

y

CA=8.

El punto

D

está sobre

\overline{BC},

y

\overline{AD}

biseca

\angle BAC.

El punto

E

está sobre

\overline{AC},

y

\overline{BE}

biseca

\angle ABC.

Las bisectrices se cortan en

F.

¿Cuál es la razón

AF:FD

?

In

\triangle ABC,

AB=6,

BC=7,

and

CA=8.

Point

D

lies on

\overline{BC},

and

\overline{AD}

bisects

\angle BAC.

Point

E

lies on

\overline{AC},

and

\overline{BE}

bisects

\angle ABC.

The bisectors intersect at

F.

What is the ratio

AF:FD?

3:2

5:3

2:1

7:3

5:2

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz en

\triangle ABC

para hallar

BD

.

Apply the Angle Bisector Theorem in

\triangle ABC

to find

BD

Pista grande:

En

\triangle ABD,

el segmento

BF

biseca

\angle ABD,

así que

AF:FD=AB:BD

.

In

\triangle ABD,

segment

BF

bisects

\angle ABD,

so

AF:FD=AB:BD

Solución:

Al aplicar el teorema de la bisectriz al

\triangle ABC

se obtiene

BD:DC=AB:AC=6:8,

así que

BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.

Ahora

BF

está sobre la bisectriz de

\angle ABD

en

\triangle ABD,

así que, por el teorema de la bisectriz de nuevo,

\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Applying the Angle Bisector Theorem to

\triangle ABC

gives

BD:DC=AB:AC=6:8,

so

BD=\dfrac{6}{6+8}\cdot 7=3.

Now

BF

lies along the bisector of

\angle ABD

in

\triangle ABD,

so by the Angle Bisector Theorem again,

\begin{gathered} AF:FD=AB:BD\\ =6:3=2:1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A Problema 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años