2015 AMC 12B Problema 23

Question

Una caja rectangular mide

a \times b \times c,

donde

a,

b,

y

c

son enteros y

1 \le a \le b \le c.

El volumen y el área superficial de la caja son numéricamente iguales. ¿Cuántas ternas ordenadas

(a, b, c)

son posibles?

A rectangular box measures

a \times b \times c,

where

a,

b,

and

c

are integers and

1 \le a \le b \le c.

The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples

(a, b, c)

are possible?

4

10

12

21

26

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

La condición es

abc = 2(ab + bc + ca)

con

1 \le a \le b \le c

.

The condition is

abc = 2(ab + bc + ca)

with

1 \le a \le b \le c

Pista grande:

Muestra que

a \le 6,

luego para cada

a

fijo factoriza la ecuación en un producto igual a una constante

Show

a \le 6,

then for each fixed

a

factor the equation into a product equal to a constant

Solución:

Que el volumen y el área superficial sean numéricamente iguales significa

abc=2(ab+bc+ca).

Al dividir entre

abc

obtenemos

1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},

así que

a\le6.

Los casos

a=1

y

a=2

no tienen soluciones positivas. Para

a\ne2,

sea

\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}

La ecuación se factoriza entonces como

uv=4a^2.

Para

a=3,

(b-6)(c-6)=36

da

(b,c)=(7,42),

(8,24),

(9,18),

(10,15),

(12,12).

Para

a=4,

(b-4)(c-4)=16

da

(5,20),(6,12),(8,8).

Para

a=5,

la congruencia de los dos factores módulo

3

deja solo el par válido

(b,c)=(5,10),

y para

a=6,

(b-3)(c-3)=9

deja solo

(b,c)=(6,6).

Por tanto, hay

5+3+1+1=10

ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Numerically equal volume and surface area means

abc=2(ab+bc+ca).

Dividing by

abc

gives

1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},

so

a\le6.

The cases

a=1

and

a=2

give no positive solutions. For

a\ne2,

set

\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}

The equation then factors as

uv=4a^2.

For

a=3,

(b-6)(c-6)=36

gives

(b,c)=(7,42),

(8,24),

(9,18),

(10,15),

(12,12).

For

a=4,

(b-4)(c-4)=16

gives

(5,20),(6,12),(8,8).

For

a=5,

the congruence of the two factors modulo

3

leaves only the valid pair

(b,c)=(5,10),

and for

a=6,

(b-3)(c-3)=9

leaves only

(b,c)=(6,6).

Thus there are

5+3+1+1=10

triples.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años