2015 AMC 12B Problema 12

Question

Sean

a,

b,

y

c

tres números distintos de un solo dígito. ¿Cuál es el máximo valor de la suma de las raíces de la ecuación

(x - a)(x - b)

+ (x - b)(x - c) = 0

?

Let

a,

b,

and

c

be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation

(x - a)(x - b)

+ (x - b)(x - c) = 0?

15

15.5

16

16.5

17

Factoriza el

(x - b)

común

Factor out the common

(x - b)

Las raíces son

b

y

\dfrac{a + c}{2};

maximiza

b + \dfrac{a + c}{2}

sobre dígitos distintos.

The roots are

b

and

\dfrac{a + c}{2};

maximize

b + \dfrac{a + c}{2}

over distinct digits

Factorizar da

(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,

así que las raíces son

b

y

\dfrac{a + c}{2}.

Su suma es

b + \dfrac{a + c}{2}.

Usando dígitos distintos, toma

b = 9

y

a + c = 8 + 7 = 15,

dando

9 + 7.5 = 16.5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring gives

(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,

so the roots are

b

and

\dfrac{a + c}{2}.

Their sum is

b + \dfrac{a + c}{2}.

Using distinct digits, take

b = 9

and

a + c = 8 + 7 = 15,

giving

9 + 7.5 = 16.5.

Thus, the correct answer is D.

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