2015 AMC 12A Problema 12

Question

Las parábolas

y = ax^2 - 2

y

y = 4 - bx^2

cortan a los ejes coordenados en exactamente cuatro puntos, y estos cuatro puntos son los vértices de un cometa de área

12.

¿Cuánto vale

a + b

?

The parabolas

y = ax^2 - 2

and

y = 4 - bx^2

intersect the coordinate axes in exactly four points, and these four points are the vertices of a kite of area

12.

What is

a + b?

1

1.5

2

2.5

3

Respuesta: B

Conceptos:parábola cometa geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Las dos intersecciones con el eje

y

son

-2

y

4;

las intersecciones con el eje

x

son simétricas respecto al eje

y

The two

y

-intercepts are

-2

and

4;

the

x

-intercepts are symmetric about the

y

-axis

Pista grande:

Las diagonales del cometa son la distancia vertical

6

y la extensión horizontal de las intersecciones con el eje

x

The kite’s diagonals are the vertical distance

6

and the horizontal spread of the

x

-intercepts

Solución:

Las intersecciones con el eje

y

de las dos parábolas son

-2

y

4.

Para cortar el eje

x

, la primera parábola abre hacia arriba y la segunda hacia abajo, así que sus intersecciones con el eje

x

son

\pm t

para algún

t \gt 0.

El cometa tiene una diagonal de longitud

4 - (-2) = 6

a lo largo del eje

y

y la otra de longitud

2t.

Su área es

\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2t = 6t = 12,

así que

t = 2.

Así, las intersecciones con el eje

x

son

\pm 2.

Para la primera parábola,

0 = a(2)^2 - 2

da

a = \dfrac{1}{2};

para la segunda,

0 = 4 - b(2)^2

da

b = 1.

Por lo tanto

a + b = 1.5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The

y

-intercepts of the two parabolas are

-2

and

4.

To intersect the

x

-axis, the first parabola opens upward and the second opens downward, so their

x

-intercepts are

\pm t

for some

t \gt 0.

The kite has one diagonal of length

4 - (-2) = 6

along the

y

-axis and the other of length

2t.

Its area is

\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2t = 6t = 12,

so

t = 2.

Thus the

x

-intercepts are

\pm 2.

For the first parabola,

0 = a(2)^2 - 2

gives

a = \dfrac{1}{2};

for the second,

0 = 4 - b(2)^2

gives

b = 1.

Therefore

a + b = 1.5.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12A Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años