2013 AMC 12A Problema 23

Question

ABCD

es un cuadrado de lado

\sqrt{3} + 1.

El punto

P

está en

\overline{AC}

tal que

AP = \sqrt{2}.

La región cuadrada delimitada por

ABCD

se rota

90^\circ

en sentido antihorario con centro

P,

barriendo una región cuya área es

\dfrac{1}{c}(a\pi + b),

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos y

\gcd(a, b, c) = 1.

¿Cuánto vale

a + b + c

?

ABCD

is a square of side length

\sqrt{3} + 1.

Point

P

is on

\overline{AC}

such that

AP = \sqrt{2}.

The square region bounded by

ABCD

is rotated

90^\circ

counterclockwise with center

P,

sweeping out a region whose area is

\dfrac{1}{c}(a\pi + b),

where

a,

b,

and

c

are positive integers and

\gcd(a, b, c) = 1.

What is

a + b + c?

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19

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Respuesta: C

Conceptos:transformación sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Rastrea las imágenes

A', B', C', D';

la región barrida son cuatro sectores circulares más cuatro triángulos

Track the images

A', B', C', D';

the swept region is four circular sectors plus four triangles

Pista grande:

AP = \sqrt{2}

y

PC = \sqrt{6}

dan los radios de los sectores, y

\triangle BPH

es un triángulo de

30

–

60

–

90.

AP = \sqrt{2}

and

PC = \sqrt{6}

give the sector radii, and

\triangle BPH

is a

30

–

60

–

90

triangle

Solución:

Sean

A', B', C', D'

las imágenes de los vértices bajo la rotación. La región barrida se descompone en cuatro sectores circulares y cuatro triángulos.

Como

AP = \sqrt{2}

y

PC = AC - AP = \sqrt{6},

los sectores en

A

y

C

tienen áreas

\tfrac{\pi}{2}

y

\tfrac{3\pi}{2}.

Si

H

es el punto medio de

AA',

entonces

PH=AH=1

y

HB=\sqrt3,

así que

\triangle BPH

es un triángulo

30

-

60

-

90^\circ

y

PB=2.

Por tanto, los dos sectores de

60^\circ

a lo largo de

BC

tienen área

\frac{2\pi}{3}

cada uno. Los dos triángulos de altura

PH

aportan

\sqrt3-1,

y el otro par congruente tiene altura

\sqrt3

y aporta

3-\sqrt3.

Así, los cuatro triángulos aportan

2.

El área total es

\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}

por lo que

a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

A', B', C', D'

be the images of the vertices under the rotation. The swept region decomposes into four circular sectors and four triangles.

Since

AP = \sqrt{2}

and

PC = AC - AP = \sqrt{6},

the sectors at

A

and

C

have areas

\tfrac{\pi}{2}

and

\tfrac{3\pi}{2}.

If

H

is the midpoint of

AA',

then

PH=AH=1

and

HB=\sqrt3,

so

\triangle BPH

is a

30

-

60

-

90^\circ

triangle and

PB=2.

Hence the two

60^\circ

sectors along

BC

each have area

\frac{2\pi}{3}.

The two triangles with altitude

PH

contribute

\sqrt3-1,

and the other congruent pair has altitude

\sqrt3

and contributes

3-\sqrt3.

Thus the four triangles contribute

2.

The total area is

\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}

so

a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.

Thus, the correct answer is C.