2013 AMC 12A Problema 13

Question

Sean los puntos

A = (0, 0),

B = (1, 2),

C = (3, 3),

y

D = (4, 0).

El cuadrilátero

ABCD

se corta en piezas de igual área mediante una recta que pasa por

A.

Esta recta corta a

\overline{CD}

en el punto

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),

donde estas fracciones están en su forma más simple. ¿Cuánto vale

p + q + r + s

?

Let points

A = (0, 0),

B = (1, 2),

C = (3, 3),

and

D = (4, 0).

Quadrilateral

ABCD

is cut into equal area pieces by a line passing through

A.

This line intersects

\overline{CD}

at point

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),

where these fractions are in lowest terms. What is

p + q + r + s?

54

58

62

70

75

Respuesta: B

Conceptos:fórmula del cordón geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Halla el área de

ABCD;

la recta de corte forma un triángulo sobre la base

AD

con la mitad de esa área

Find the area of

ABCD;

the cutting line makes a triangle on base

AD

with half that area

Pista grande:

Con base

AD = 4,

la altura del triángulo es la coordenada

y

del punto sobre

CD

With base

AD = 4,

the triangle’s height is the

y

-coordinate of the point on

CD

Solución:

Por la fórmula del cordón, el área de

ABCD

es

\tfrac{15}{2}.

Sea

G

el punto donde la recta corta a

\overline{CD}.

El triángulo

ADG

debe tener área

\tfrac{15}{4}.

Como

AD = 4

está sobre el eje

x

, la ecuación

\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}

da

y_G = \tfrac{15}{8}.

La recta

CD

es

y = -3(x - 4),

así que

x_G = \tfrac{27}{8}.

Entonces

p + q + r + s

= 27 + 8 + 15 + 8

= 58.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

By the shoelace formula, the area of

ABCD

is

\tfrac{15}{2}.

Let the line meet

\overline{CD}

at

G.

Triangle

ADG

must have area

\tfrac{15}{4}.

Since

AD = 4

lies on the

x

-axis,

\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}

gives

y_G = \tfrac{15}{8}.

Line

CD

is

y = -3(x - 4),

so

x_G = \tfrac{27}{8}.

Then

p + q + r + s

= 27 + 8 + 15 + 8

= 58.

Thus, the correct answer is B.