2012 AMC 12B Problema 23

Question

Considera todos los polinomios de una variable compleja,

P(z) = 4z^4 + az^3

+ bz^2 + cz + d,

donde

a,

b,

c,

y

d

son enteros,

0 \le d \le c \le b \le a \le 4,

y el polinomio tiene un cero

z_0

con

|z_0| = 1.

¿Cuál es la suma de todos los valores

P(1)

sobre todos los polinomios con estas propiedades?

Consider all polynomials of a complex variable,

P(z) = 4z^4 + az^3

+ bz^2 + cz + d,

where

a,

b,

c,

and

d

are integers,

0 \le d \le c \le b \le a \le 4,

and the polynomial has a zero

z_0

with

|z_0| = 1.

What is the sum of all values

P(1)

over all the polynomials with these properties?

84

92

100

108

120

Respuesta: B

Conceptos:raíces de la unidad número complejo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad triangular a

4z_0^5=(z_0-1)P(z_0)+4z_0^5;

la igualdad obliga a que los saltos de coeficientes se concentren

Apply the triangle inequality to

4z_0^5=(z_0-1)P(z_0)+4z_0^5;

equality forces the coefficient jumps to concentrate

Pista grande:

Trata primero los casos en que

z_0^k=1

para algún

1\le k\le4;

en caso contrario, la igualdad en la desigualdad triangular permite solo un salto de coeficiente no nulo

First handle the cases where

z_0^k=1

for some

1\le k\le4;

otherwise equality in the triangle inequality permits only one nonzero coefficient jump

Solución:

Como

|z_0|=1,

al aplicar la desigualdad triangular a la identidad

\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}

el lado izquierdo tiene valor absoluto

4.

Los saltos no negativos de los coeficientes del lado derecho también suman

4,

así que hay igualdad y todos sus sumandos complejos no nulos apuntan en la misma dirección.

Si dos saltos son no nulos, su cociente muestra que

z_0^k

es real positivo para algún

1\le k\le4.

Como

|z_0|=1,

esto significa que

z_0^k=1.

Los casos

k=2,3,4

dan, respectivamente,

a=4,b=c,d=0;

a=b=4,c=d=0;

y un polinomio que ya pertenece a la primera familia. Si no existe tal potencia, la igualdad obliga a que haya exactamente un salto no nulo. El salto constante da

a=b=c=d=4;

cualquier otro salto vuelve a forzar

z_0^{5-j}=1

y conduce a los casos anteriores. Por tanto, los polinomios son exactamente

4z^4+4z^3+bz^2+bz

para

0\le b\le4,

junto con

4z^4+4z^3+4z^2

y

4z^4+4z^3+4z^2+4z+4.

Sus valores en

1

son

20,

12,

y

8+2b;

al sumarlos se obtiene

\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because

|z_0|=1,

applying the triangle inequality to the identity

\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}

has left side of absolute value

4.

The nonnegative coefficient jumps on the right sum to

4,

so the triangle inequality is an equality and all its nonzero complex summands point in the same direction.

If two jumps are nonzero, their quotient shows that

z_0^k

is a positive real for some

1\le k\le4.

Since

|z_0|=1,

this means

z_0^k=1.

The cases

k=2,3,4

give, respectively,

a=4,b=c,d=0;

a=b=4,c=d=0;

and a polynomial already in the first family. If no such power exists, equality forces exactly one nonzero jump. The constant jump gives

a=b=c=d=4;

any other jump again forces

z_0^{5-j}=1

and returns to the cases just listed. Hence the polynomials are exactly

4z^4+4z^3+bz^2+bz

for

0\le b\le4,

together with

4z^4+4z^3+4z^2

and

4z^4+4z^3+4z^2+4z+4.

Their values at

1

are

20,

12,

and

8+2b;

summing gives

\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.