2011 AMC 12B Problema 23

Question

Un insecto se desplaza por el plano de coordenadas, moviéndose solo a lo largo de las rectas paralelas al eje

x

o al eje

y

. Sean

A=(-3, 2)

y

B=(3, -2).

Considera todos los posibles recorridos del insecto de

A

a

B

de longitud a lo sumo

20.

¿Cuántos puntos de coordenadas enteras están en al menos uno de estos recorridos?

A bug travels in the coordinate plane, moving only along the lines that are parallel to the

x

-axis or

y

-axis. Let

A=(-3, 2)

and

B=(3, -2).

Consider all possible paths of the bug from

A

to

B

of length at most

20.

How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

161

185

195

227

255

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Un punto

X

está en uno de esos recorridos si y solo si sus distancias taxicab cumplen

d(A,X)+d(X,B)\le20

.

A point

X

lies on such a path iff its taxicab distances satisfy

d(A,X)+d(X,B)\le20

Pista grande:

Esto es

|x-3|+|x+3|

+|y-2|+|y+2|\le20;

cuenta usando la simetría respecto a los ejes.

This is

|x-3|+|x+3|

+|y-2|+|y+2|\le20;

count by symmetry across the axes

Solución:

Un punto de red

X=(x,y)

está en algún recorrido exactamente cuando

\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}

Esta expresión no cambia cuando

x\to-x

o

y\to-y,

así que contamos los puntos con

x\ge0,

y\ge0,

multiplicamos por

4,

y corregimos por los ejes.

Si

0\le x\le3

y

0\le y\le2,

sirven los

4\cdot3=12

puntos. Si

0\le x\le3

y

y\ge3,

entonces

y\le7,

lo que da

4\cdot5=20

puntos. Si

x\ge4

y

0\le y\le2,

entonces

x\le8,

lo que da

5\cdot3=15

puntos. Por último, para

x\ge4

y

y\ge3,

la condición es

x+y\le10,

lo que da

4+3+2+1=10

puntos. Así, hay

57

puntos en el primer cuadrante, incluidos

15

sobre los ejes no negativos. Por simetría, el total es

4\cdot57-2\cdot15-3=195.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A lattice point

X=(x,y)

lies on some path exactly when

\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}

This expression is unchanged when

x\to-x

or

y\to-y,

so we count points with

x\ge0,

y\ge0,

multiply by

4,

and correct for the axes.

If

0\le x\le3

and

0\le y\le2,

all

4\cdot3=12

points work. If

0\le x\le3

and

y\ge3,

then

y\le7,

giving

4\cdot5=20

points. If

x\ge4

and

0\le y\le2,

then

x\le8,

giving

5\cdot3=15

points. Finally, for

x\ge4

and

y\ge3,

the condition is

x+y\le10,

giving

4+3+2+1=10

points. Thus there are

57

in the first quadrant, including

15

on the nonnegative axes. By symmetry the total is

4\cdot57-2\cdot15-3=195.

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años