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2011 AMC 12A Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2011 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

El triángulo ABCABC tiene ∠BAC=60∘,\angle BAC = 60^\circ, ∠CBA≤90∘,\angle CBA \le 90^\circ, BC=1,BC = 1, y AC≥AB.AC \ge AB. Sean H,H, I,I, y OO el ortocentro, el incentro y el circuncentro de △ABC,\triangle ABC, respectivamente. Supongamos que el área del pentágono BCOIHBCOIH es la máxima posible. ¿Cuánto vale ∠CBA\angle CBA?
Triangle ABCABC has ∠BAC=60∘,\angle BAC = 60^\circ, ∠CBA≤90∘,\angle CBA \le 90^\circ, BC=1,BC = 1, and AC≥AB.AC \ge AB. Let H,H, I,I, and OO be the orthocenter, incenter, and circumcenter of △ABC,\triangle ABC, respectively. Assume that the area of the pentagon BCOIHBCOIH is the maximum possible. What is ∠CBA?\angle CBA?
60∘60^\circ
72∘72^\circ
75∘75^\circ
80∘80^\circ
90∘90^\circ
Respuesta: D
Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradiooptimizacióntrigonometría
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:
Como ∠BAC=60∘,\angle BAC = 60^\circ, los puntos B,C,O,I,HB, C, O, I, H están todos en un mismo círculo
Because ∠BAC=60∘,\angle BAC = 60^\circ, the points B,C,O,I,HB, C, O, I, H all lie on one circle
Pista grande:
En ese círculo, maximiza el cuadrilátero BOIHBOIH haciendo iguales los tres subarcos consecutivos de OO a BB
On that circle, maximize the quadrilateral BOIHBOIH by making the three consecutive subarcs from OO to BB equal
Solución:
Escribamos B=∠CBAB=\angle CBA y C=∠BCA=120∘−B.C=\angle BCA=120^\circ-B. Como AC≥AB,AC\ge AB, tenemos B≥C,B\ge C, así que 60∘≤B≤90∘.60^\circ\le B\le90^\circ. Las fórmulas angulares usuales dan ∠BOC=2∠A=120∘,∠BHC=180∘−∠A=120∘,∠BIC=90∘+∠A2=120∘. \begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned} Por tanto, B,C,O,I,HB,C,O,I,H están en un mismo círculo.
Además, BC=1BC=1 y A=60∘A=60^\circ fijan el circunradio OB=OC=13,OB=OC=\frac{1}{\sqrt3}, por lo que △BCO\triangle BCO y el círculo que pasa por B,C,OB,C,O son fijos. Al perseguir ángulos en CC, obtenemos ∠OCI=30∘−C2,∠ICH=30∘−C2. \begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned} Por tanto, las cuerdas correspondientes satisfacen OI=IH.OI=IH.
El área del pentágono es el área fija [BCO][BCO] más [BOIH].[BOIH]. Para dos puntos que dividen un arco fijo OB,OB, un cuadrilátero inscrito tiene área máxima cuando sus tres subarcos consecutivos son iguales (equivalentemente, cuando se maximiza la suma de sus senos). Así, en el máximo, OI=IH=HB.OI=IH=HB.
En △BOC,\triangle BOC, tenemos ∠OCB=30∘.\angle OCB=30^\circ. Las cuerdas iguales dan ∠OCI=∠ICH,\angle OCI=\angle ICH, y ∠ICH=∠HCB,\angle ICH=\angle HCB, y cada uno de estos ángulos mide 10∘.10^\circ. Por tanto, 30∘−C2=10∘,30^\circ-\tfrac C2=10^\circ, de donde C=40∘C=40^\circ y B=80∘.B=80^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Write B=∠CBAB=\angle CBA and C=∠BCA=120∘−B.C=\angle BCA=120^\circ-B. Since AC≥AB,AC\ge AB, we have B≥C,B\ge C, so 60∘≤B≤90∘.60^\circ\le B\le90^\circ. The standard angle formulas give ∠BOC=2∠A=120∘,∠BHC=180∘−∠A=120∘,∠BIC=90∘+∠A2=120∘. \begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned} Hence B,C,O,I,HB,C,O,I,H lie on one circle.
Also BC=1BC=1 and A=60∘A=60^\circ fix the circumradius OB=OC=13,OB=OC=\frac{1}{\sqrt3}, so △BCO\triangle BCO and the circle through B,C,OB,C,O are fixed. Angle chasing at CC gives ∠OCI=30∘−C2,∠ICH=30∘−C2. \begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned} Thus the corresponding chords satisfy OI=IH.OI=IH.
The pentagon’s area is the fixed area [BCO][BCO] plus [BOIH].[BOIH]. For two points dividing a fixed arc OB,OB, an inscribed quadrilateral has greatest area when its three consecutive subarcs are equal (equivalently, maximize the sum of their sines). Hence at the maximum OI=IH=HB.OI=IH=HB.
In △BOC,\triangle BOC, ∠OCB=30∘.\angle OCB=30^\circ. Equal chords make ∠OCI=∠ICH,\angle OCI=\angle ICH, ∠ICH=∠HCB,\angle ICH=\angle HCB, and each of these angles is 10∘.10^\circ. Therefore 30∘−C2=10∘,30^\circ-\tfrac C2=10^\circ, so C=40∘C=40^\circ and B=80∘.B=80^\circ.
Thus, the correct answer is D.

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