2011 AMC 12A Problema 13

Question

El triángulo

ABC

tiene longitudes de lados

AB = 12,

BC = 24,

y

AC = 18.

La recta que pasa por el incentro de

\triangle ABC

paralela a

\overline{BC}

corta a

\overline{AB}

en

M

y a

\overline{AC}

en

N.

¿Cuál es el perímetro de

\triangle AMN

?

Triangle

ABC

has side-lengths

AB = 12,

BC = 24,

and

AC = 18.

The line through the incenter of

\triangle ABC

parallel to

\overline{BC}

intersects

\overline{AB}

at

M

and

\overline{AC}

at

N.

What is the perimeter of

\triangle AMN?

27

30

33

36

42

Respuesta: B

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio rectas paralelas triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sea

I

el incentro. Como

MN \parallel BC,

el ángulo

\angle MIB

es igual a

\angle IBC

Let

I

be the incenter. Since

MN \parallel BC,

the angle

\angle MIB

equals

\angle IBC

Pista grande:

Eso hace que

\triangle MBI

sea isósceles con

MB = MI,

y de manera similar

NC = NI

That makes

\triangle MBI

isosceles with

MB = MI,

and similarly

NC = NI

Solución:

Sea

I

el incentro. Como

\overline{BI}

biseca

\angle B

y

MN \parallel BC,

los ángulos alternos dan

\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,

así que

\triangle MBI

es isósceles con

MB = MI.

De manera similar

NC = NI.

Por lo tanto el perímetro de

\triangle AMN

es

\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

I

be the incenter. Because

\overline{BI}

bisects

\angle B

and

MN \parallel BC,

alternate angles give

\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,

so

\triangle MBI

is isosceles with

MB = MI.

Similarly

NC = NI.

Therefore the perimeter of

\triangle AMN

is

\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.