2010 AMC 12B Problema 13

Question

En

\triangle ABC,

\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2

y

AB=4.

¿Cuánto vale

BC

?

In

\triangle ABC,

\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2

and

AB=4.

What is

BC?

\sqrt{2}

\sqrt{3}

2

2\sqrt{2}

2\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo especial acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Tanto un coseno como un seno son a lo sumo

1,

así que cada uno debe ser igual a

1

Both a cosine and a sine are at most

1,

so each must equal

1

Pista grande:

Resuelve

2A-B=0^\circ

y

A+B=90^\circ

para identificar el triángulo

Solve

2A-B=0^\circ

and

A+B=90^\circ

to identify the triangle

Solución:

Un coseno más un seno es igual a

2

solo cuando cada uno es igual a

1.

Así que

\cos(2A-B)=1

y

\sin(A+B)=1,

dando

2A-B=0^\circ

y

A+B=90^\circ.

Resolviendo,

A=30^\circ

y

B=60^\circ,

así que

\triangle ABC

es un triángulo rectángulo

30\text{-}60\text{-}90

con el ángulo recto en

C.

Con hipotenusa

AB=4,

el lado

BC

opuesto al ángulo

30^\circ

es la mitad de la hipotenusa, así que

BC=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A cosine plus a sine equals

2

only when each equals

1.

So

\cos(2A-B)=1

and

\sin(A+B)=1,

giving

2A-B=0^\circ

and

A+B=90^\circ.

Solving,

A=30^\circ

and

B=60^\circ,

so

\triangle ABC

is a

30\text{-}60\text{-}90

right triangle with the right angle at

C.

With hypotenuse

AB=4,

the side

BC

opposite the

30^\circ

angle is half the hypotenuse, so

BC=2.

Thus, the correct answer is C.