2010 AMC 12A Problema 4

Question

Si

x\lt0,

¿cuál de las siguientes opciones debe ser positiva?

If

x\lt0,

then which of the following must be positive?

\dfrac{x}{|x|}

-x^2

-2^x

-x^{-1}

\sqrt[3]{x}

Prueba cada opción con un valor negativo como

x=-1

.

Test each choice with a negative value such as

x=-1

Reescribe

-x^{-1}

como

-\dfrac1x;

el recíproco de un número negativo es negativo, así que su opuesto es positivo.

Rewrite

-x^{-1}

as

-\dfrac1x;

dividing into a negative number flips the sign

La opción (D) es

-x^{-1}=-\dfrac1x.

Cuando

x\lt0,

\dfrac1x\lt0,

así que

-\dfrac1x\gt0.

Al probar

x=-1

se ve que las otras opciones no tienen por qué ser positivas:

\dfrac{x}{|x|}=-1,

-x^2=-1,

-2^x=-\tfrac12,

y

\sqrt[3]{x}=-1.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Choice (D) is

-x^{-1}=-\dfrac1x.

When

x\lt0,

\dfrac1x\lt0,

so

-\dfrac1x\gt0.

Testing

x=-1

shows the other choices need not be positive:

\dfrac{x}{|x|}=-1,

-x^2=-1,

-2^x=-\tfrac12,

and

\sqrt[3]{x}=-1.

Thus, D is the correct answer.

El Problema 4 en otros años