2010 AMC 12A Problema 12
Intenta el Problema 12 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
12.
En un pantano mágico hay dos especies de anfibios parlantes: los sapos, cuyas afirmaciones siempre son verdaderas, y las ranas, cuyas afirmaciones siempre son falsas. Cuatro anfibios, Brian, Chris, LeRoy y Mike, viven juntos en este pantano y hacen las siguientes afirmaciones.
Brian: «Mike y yo somos de especies diferentes.»
Chris: «LeRoy es una rana.»
LeRoy: «Chris es una rana.»
Mike: «De los cuatro, al menos dos somos sapos.»
¿Cuántos de estos cuatro anfibios son ranas?
In a magical swamp there are two species of talking amphibians: toads, whose statements are always true, and frogs, whose statements are always false. Four amphibians, Brian, Chris, LeRoy, and Mike live together in this swamp, and they make the following statements.
Brian: “Mike and I are different species.”
Chris: “LeRoy is a frog.”
LeRoy: “Chris is a frog.”
Mike: “Of the four of us, at least two are toads.”
How many of these four amphibians are frogs?
Respuesta: D
Pista pequeña:
Chris y LeRoy no pueden ser de la misma especie.
Chris and LeRoy cannot have the same species
Pista grande:
Si Brian fuera un sapo, la afirmación de Mike crearía una contradicción.
If Brian were a toad, Mike’s statement would create a contradiction
Solución:
Chris y LeRoy son de especies opuestas: si Chris es un sapo, su afirmación hace que LeRoy sea una rana; si Chris es una rana, su afirmación falsa hace que LeRoy sea un sapo. Así que exactamente uno de ellos es un sapo.
Si Brian es un sapo, su afirmación verdadera hace que Mike sea una rana. Si Brian es una rana, su afirmación falsa dice que él y Mike son de la misma especie, lo que de nuevo hace que Mike sea una rana. Por lo tanto, Mike siempre es una rana.
En consecuencia, la afirmación de Mike es falsa, así que hay menos de dos sapos. Chris y LeRoy ya aportan exactamente un sapo, lo que obliga a que Brian sea una rana. Por lo tanto, hay un sapo y ranas.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Chris and LeRoy are of opposite species: if Chris is a toad, his statement makes LeRoy a frog; if Chris is a frog, his false statement makes LeRoy a toad. Thus exactly one of them is a toad.
If Brian is a toad, his true statement makes Mike a frog. If Brian is a frog, his false statement says that he and Mike are the same species, again making Mike a frog. Therefore Mike is always a frog.
Mike’s statement is therefore false, so there are fewer than two toads. Chris and LeRoy already supply exactly one toad, forcing Brian to be a frog. Hence there is one toad and frogs.
Thus, D is the correct answer.
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