2009 AMC 12B Problema 13

Question

El triángulo

ABC

tiene

AB = 13

y

AC = 15,

y la altura sobre

BC

mide

12.

¿Cuál es la suma de los dos valores posibles de

BC

?

Triangle

ABC

has

AB = 13

and

AC = 15,

and the altitude to

BC

has length

12.

What is the sum of the two possible values of

BC?

15

16

17

18

19

Respuesta: D

Conceptos:Teorema de Pitágoras altura análisis por casos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

El pie de la altura divide

BC

; usa el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos.

The foot of the altitude splits

BC

; use the Pythagorean theorem in the two right triangles

Pista grande:

Las distancias del pie son

\sqrt{13^2 - 12^2} = 5

y

\sqrt{15^2 - 12^2} = 9

;

BC

es su suma o su diferencia.

The foot distances are

\sqrt{13^2 - 12^2} = 5

and

\sqrt{15^2 - 12^2} = 9

;

BC

is their sum or difference

Solución:

Sea

D

el pie de la altura desde

A.

Entonces

BD = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5

y

DC = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9.

Si

D

está entre

B

y

C,

entonces

BC = 5 + 9 = 14

; si el triángulo es obtuso,

BC = 9 - 5 = 4.

La suma es

14 + 4 = 18.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

D

be the foot of the altitude from

A.

Then

BD = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5

and

DC = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9.

If

D

lies between

B

and

C,

then

BC = 5 + 9 = 14

; if the triangle is obtuse,

BC = 9 - 5 = 4.

The sum is

14 + 4 = 18.

Thus, the correct answer is D.