2009 AMC 12A Problema 12

Question

¿Cuántos enteros positivos menores que

1000

son

6

veces la suma de sus dígitos?

How many positive integers less than

1000

are

6

times the sum of their digits?

0

1

2

4

12

Respuesta: B

Conceptos:dígitos acotación a casos límite análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Si

N

es igual a

6

veces la suma de sus dígitos, entonces

N

es múltiplo de

6

y

N

es pequeño.

If

N

equals

6

times its digit sum, then

N

is a multiple of

6

and

N

is small

Pista grande:

La suma de los dígitos de un número menor que

1000

es a lo sumo

27,

así que

N \le 162

.

The digit sum of a number below

1000

is at most

27,

so

N \le 162

Solución:

Si

N = 6\cdot(\text{suma de dígitos}),

entonces, dado que la suma de los dígitos de un número menor que

1000

es a lo sumo

27,

tenemos

N \le 162.

Para un número de dos dígitos,

10t + u = 6(t + u)

da

4t = 5u,

lo que obliga a

t = 5

y

u = 4,

así que

N = 54.

Un número de un dígito necesitaría

6u = u,

imposible para

u \gt 0.

Un número de tres dígitos

100h + 10t + u = 6(h + t + u)

da

94h + 4t = 5u,

cuyo lado izquierdo es al menos

94

mientras el lado derecho es a lo sumo

45,

así que no hay solución.

Por lo tanto, exactamente un número,

54,

funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If

N = 6\cdot(\text{digit sum}),

then since the digit sum of a number below

1000

is at most

27,

we have

N \le 162.

For a two-digit number

10t + u = 6(t + u)

gives

4t = 5u,

forcing

t = 5

and

u = 4,

so

N = 54.

A one-digit number would need

6u = u,

impossible for

u \gt 0.

A three-digit number

100h + 10t + u = 6(h + t + u)

gives

94h + 4t = 5u,

whose left side is at least

94

while the right side is at most

45,

so there is no solution.

Hence exactly one number,

54,

works.

Thus, the correct answer is B.