2007 AMC 12A Problema 23

Question

El cuadrado

ABCD

tiene área

36,

y

AB

es paralelo al eje

x

. Los vértices

A,

B,

y

C

están sobre las gráficas de

y=\log_a x,

y=2\log_a x,

y

y=3\log_a x,

respectivamente. ¿Cuánto vale

a

?

Square

ABCD

has area

36,

and

AB

is parallel to the

x

-axis. Vertices

A,

B,

and

C

are on the graphs of

y=\log_a x,

y=2\log_a x,

and

y=3\log_a x,

respectively. What is

a?

\sqrt[6]{3}

\sqrt3

\sqrt[3]{6}

\sqrt6

6

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo geometría analítica cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Como

AB

es horizontal con longitud

6,

plantea

\log_a p=2\log_a q,

lo que da

p=q^2

.

Since

AB

is horizontal with length

6,

set

\log_a p=2\log_a q,

giving

p=q^2

Pista grande:

Resuelve

|q^2-q|=6

para

q,

luego usa

BC=6=\log_a q

.

Solve

|q^2-q|=6

for

q,

then use

BC=6=\log_a q

Solución:

Sea

A=(p,\log_a p)

y

B=(q,2\log_a q).

Como

AB

es horizontal,

\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,

así que

p=q^2.

La longitud del lado es

6=|p-q|=|q^2-q|,

cuya única solución positiva es

q=3.

Como

C=(q,3\log_a q),

el lado vertical da

BC=6=\log_a q=\log_a 3.

Así que

a^6=3,

por lo que

a=\sqrt[6]{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

A=(p,\log_a p)

and

B=(q,2\log_a q).

Since

AB

is horizontal,

\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,

so

p=q^2.

The side length is

6=|p-q|=|q^2-q|,

whose only positive solution is

q=3.

Since

C=(q,3\log_a q),

the vertical side gives

BC=6=\log_a q=\log_a 3.

Thus

a^6=3,

so

a=\sqrt[6]{3}.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12A Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años