Question

El rombo $ABCD$ es semejante al rombo $BFDE.$ El área del rombo $ABCD$ es $24,$ y $\angle BAD = 60^\circ.$ ¿Cuál es el área del rombo $BFDE$ ?

Rhombus $ABCD$ is similar to rhombus $BFDE.$ The area of rhombus $ABCD$ is $24,$ and $\angle BAD = 60^\circ.$ What is the area of rhombus $BFDE?$

$6$

$4\sqrt{3}$

$8$

$9$

$6\sqrt{3}$

Respuesta: C

Conceptos:rombo triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Sean $O$ el punto de intersección de las diagonales de $ABCD.$ Estas se bisecan perpendicularmente y, como $\angle BAD=60^\circ,$ el triángulo $ABO$ es un triángulo de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ . Por tanto, las semidiagonales satisfacen $AO=\sqrt3\,BO.$

El segmento $BD$ es la diagonal corta de $ABCD$ y la diagonal larga del rombo semejante $BFDE.$ Así, la razón de longitudes del rombo menor al mayor es $BD/AC=BO/AO=1/\sqrt3.$ Las áreas se escalan con el cuadrado de esta razón, de modo que el área de $BFDE$ es $24\cdot\dfrac13=8.$

Así, la respuesta correcta es C.

Let the diagonals of $ABCD$ meet at $O.$ They bisect each other at right angles, and since $\angle BAD=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle. Hence the half-diagonals satisfy $AO=\sqrt3\,BO.$

The segment $BD$ is the short diagonal of $ABCD$ and the long diagonal of the similar rhombus $BFDE.$ Thus the smaller-to-larger length ratio is $BD/AC=BO/AO=1/\sqrt3.$ Areas scale by the square of this ratio, so the area of $BFDE$ is $24\cdot\dfrac13=8.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 13 en otros años