2006 AMC 12A Problema 13

Question

Los vértices de un triángulo rectángulo

3

–

4

–

5

son los centros de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, como se muestra. ¿Cuál es la suma de las áreas de estas circunferencias?

The vertices of a

3

–

4

–

5

right triangle are the centers of three mutually externally tangent circles, as shown. What is the sum of the areas of these circles?

12\pi

\dfrac{25\pi}{2}

13\pi

\dfrac{27\pi}{2}

14\pi

Los radios en dos vértices adyacentes suman la longitud del lado entre ellos.

The radii at two adjacent vertices sum to the side length between them

Resuelve

r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5

.

Solve

r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5

Si

r, s, t

son los radios en los vértices, entonces

r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.

Sumando las tres da

r + s + t = 6,

así que

r = 1,\ s = 2,\ t = 3.

La suma de las áreas es

\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

r, s, t

are the radii at the vertices, then

r + s = 3,\ r + t = 4,\ s + t = 5.

Adding all three gives

r + s + t = 6,

so

r = 1,\ s = 2,\ t = 3.

The sum of the areas is

\pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = 14\pi.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 13 en otros años