2005 AMC 12A Problema 25

Question

Sea

S

el conjunto de todos los puntos con coordenadas

(x, y, z),

donde

x,

y,

y

z

se eligen cada uno del conjunto

\{0, 1, 2\}.

¿Cuántos triángulos equiláteros tienen todos sus vértices en

S

?

Let

S

be the set of all points with coordinates

(x, y, z),

where

x,

y,

and

z

are each chosen from the set

\{0, 1, 2\}.

How many equilateral triangles have all their vertices in

S?

72

76

80

84

88

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero Geometría 3D análisis por casos

Nivel de dificultad: 2640

Pista pequeña:

Un triángulo equilátero en esta cuadrícula debe tener los tres lados iguales, así que cada lado es una diagonal de cara o un segmento inclinado específico.

An equilateral triangle in this grid must have all three sides equal, so each side is a face diagonal or a specific slanted segment

Pista grande:

Cuenta por separado los triángulos cuyos lados son diagonales de caras de cubos unitarios, diagonales de caras del cubo grande, y segmentos de punto medio de arista a punto medio de arista de longitud

\sqrt{6}

.

Count separately the triangles whose sides are unit-cube face diagonals, big-cube face diagonals, and edge-midpoint-to-edge-midpoint segments of length

\sqrt{6}

Solución:

Los tres lados iguales de un triángulo así deben tener todos la misma longitud. Revisando las posibles longitudes al cuadrado en la cuadrícula

3 \times 3 \times 3

, solo aparecen tres familias de lado.

Diagonales de cara de un cubo unitario (longitud

\sqrt2

): cada uno de los

8

cubos unitarios aporta

8

triángulos, uno en cada esquina, para

8 \cdot 8 = 64.

Diagonales de cara del cubo $2 \times 2 \times 2$ (longitud

2\sqrt2

): las tres caras que se juntan en un vértice forman un triángulo, lo que da

8

triángulos.

Segmentos entre puntos medios de aristas (longitud

\sqrt6,

que unen los puntos medios de dos aristas): cada uno de los

12

puntos medios de arista es vértice de dos de esos triángulos, para

\dfrac{12 \cdot 2}{3} = 8.

El total es

64 + 8 + 8 = 80.

Así, la respuesta correcta es C.

The three equal sides of such a triangle must all have the same length. Checking the possible squared lengths in the

3 \times 3 \times 3

grid, only three families of side occur.

Face diagonals of a unit cube (length

\sqrt2

): each of the

8

unit cubes contributes

8

triangles, one at each corner, for

8 \cdot 8 = 64.

Face diagonals of the $2 \times 2 \times 2$ cube (length

2\sqrt2

): the three faces meeting at a vertex form one triangle, giving

8

triangles.

Edge-midpoint segments (length

\sqrt6,

joining midpoints of two edges): each of the

12

edge midpoints is a vertex of two such triangles, for

\dfrac{12 \cdot 2}{3} = 8.

The total is

64 + 8 + 8 = 80.

Thus, the correct answer is C.