2005 AMC 12A Problema 12

Question

Una recta pasa por

A(1, 1)

y

B(100, 1000).

¿Cuántos otros puntos con coordenadas enteras están sobre la recta y estrictamente entre

A

y

B

?

A line passes through

A(1, 1)

and

B(100, 1000).

How many other points with integer coordinates are on the line and strictly between

A

and

B?

0

2

3

8

9

Respuesta: D

Conceptos:punto reticular máximo común divisor pendiente

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Reduce la pendiente

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}

a su mínima expresión.

Reduce the slope

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}

to lowest terms

Pista grande:

Los puntos de la recta tienen la forma

(1 + 11t,\ 1 + 111t);

cuenta los enteros

t

estrictamente entre los extremos.

Points on the line take the form

(1 + 11t,\ 1 + 111t);

count integer

t

strictly between the endpoints

Solución:

La pendiente es

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.

Así, todo punto de la recta tiene la forma

(1 + 11t,\ 1 + 111t),

que es un punto reticular exactamente cuando

t

es entero. El punto está estrictamente entre

A

y

B

cuando

0 \lt t \lt 9.

Hay

8

enteros

t,

lo que da

8

puntos reticulares.

Así, la respuesta correcta es D.

The slope is

\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.

So every point on the line has the form

(1 + 11t,\ 1 + 111t),

which is a lattice point exactly when

t

is an integer. The point is strictly between

A

and

B

when

0 \lt t \lt 9.

There are

8

such integers

t,

giving

8

lattice points.

Thus, the correct answer is D.