2004 AMC 12B Problema 23

Question

El polinomio

x^3 - 2004x^2 + mx + n

tiene coeficientes enteros y tres ceros positivos distintos. Exactamente uno de ellos es entero, y es la suma de los otros dos. ¿Cuántos valores de

n

son posibles?

The polynomial

x^3 - 2004x^2 + mx + n

has integer coefficients and three distinct positive zeros. Exactly one of these is an integer, and it is the sum of the other two. How many values of

n

are possible?

250{,}000

250{,}250

250{,}500

250{,}750

251{,}000

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

El cero entero es la suma de los otros dos, que deben ser conjugados

\dfrac{a}{2} \pm r

.

The integer zero is the sum of the other two, which must be conjugates

\dfrac{a}{2} \pm r

Pista grande:

El cero entero es la mitad de

2004,

así que es

1002;

luego cuenta los

r^2

válidos.

The integer zero is half of

2004,

so it is

1002;

then count valid

r^2

Solución:

Sea el cero entero

a.

Los otros dos ceros son conjugados irracionales

\dfrac{a}{2} \pm r,

cuya suma

a

es igual al cero entero. La fórmula de Vieta para el coeficiente de

x^2

da

a + a = 2004,

así que

a = 1002

y el par conjugado es

501 \pm r.

Los coeficientes son enteros exactamente cuando

r^2

es un entero positivo, y los ceros son positivos y distintos cuando

1 \le r^2 \le 501^2 - 1 = 251{,}000.

Como

r

no puede ser entero, excluimos los

500

valores de cuadrado perfecto

r^2 = 1^2, \ldots, 500^2,

dejando

251{,}000 - 500 = 250{,}500

valores de

n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the integer zero be

a.

The other two zeros are irrational conjugates

\dfrac{a}{2} \pm r,

whose sum

a

equals the integer zero. Vieta’s formula on the

x^2

coefficient gives

a + a = 2004,

so

a = 1002

and the conjugate pair is

501 \pm r.

The coefficients are integers exactly when

r^2

is a positive integer, and the zeros are positive and distinct when

1 \le r^2 \le 501^2 - 1 = 251{,}000.

Since

r

cannot be an integer, we exclude the

500

perfect-square values

r^2 = 1^2, \ldots, 500^2,

leaving

251{,}000 - 500 = 250{,}500

values of

n.

Thus, the correct answer is C.