2004 AMC 12B Problema 12

Question

En la sucesión

2001,

2002,

2003,

\ldots,

cada término a partir del cuarto se obtiene restando el término anterior de la suma de los dos términos que preceden a ese término. Por ejemplo, el cuarto término es

2001 + 2002 - 2003 = 2000.

¿Cuál es el término número

2004

de esta sucesión?

In the sequence

2001,

2002,

2003,

\ldots,

each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is

2001 + 2002 - 2003 = 2000.

What is the

2004

th term in this sequence?

-2004

-2

0

4003

6007

Respuesta: C

Conceptos:recursión sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe varios términos para detectar un patrón.

Write out several terms to spot a pattern

Pista grande:

Los términos de índice par

2002, 2000, 1998, \ldots

forman una progresión aritmética.

The even-indexed terms

2002, 2000, 1998, \ldots

form an arithmetic progression

Solución:

La regla da

2001,

2002,

2003,

2000,

2005,

1998, \ldots

Los términos de índice par son

2002, 2000, 1998, \ldots,

y decrecen en

2.

Más precisamente, la recurrencia verifica por inducción que

a_{2k} = 2004 - 2k

y

a_{2k+1} = 2001 + 2k.

Por lo tanto,

\begin{aligned} a_{2004} &= a_{2\cdot1002} \\ &= 2004 - 2(1002) = 0. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The rule gives

2001,

2002,

2003,

2000,

2005,

1998, \ldots

The even-indexed terms are

2002, 2000, 1998, \ldots,

decreasing by

2.

More precisely, the recurrence verifies inductively that

a_{2k} = 2004 - 2k

and

a_{2k+1} = 2001 + 2k.

Therefore

\begin{aligned} a_{2004} &= a_{2\cdot1002} \\ &= 2004 - 2(1002) = 0. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.