2002 AMC 12B Problema 4

Question

Sea

n

un entero positivo tal que

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n

es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

Let

n

be a positive integer such that

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n

is an integer. Which of the following statements is not true:

2

divide a

n

2

divides

n

3

divide a

n

3

divides

n

6

divide a

n

6

divides

n

7

divide a

n

7

divides

n

n\gt84

Respuesta: E

Conceptos:fracción divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Observa que

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}

.

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}

Pista grande:

La suma completa está estrictamente entre

0

y

2,

así que debe ser igual a

1

; despeja

n

.

The whole sum lies strictly between

0

and

2,

so it must equal

1

; solve for

n

Solución:

Como

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},

la suma

\dfrac{41}{42}+\dfrac1n

está estrictamente entre

0

y

2,

así que debe ser igual a

1.

Entonces

\dfrac1n=\dfrac1{42},

lo que da

n=42.

Ahora bien,

2,

3,

6,

y

7

dividen todos a

42,

pero

n\gt84

es falso. La afirmación no verdadera es

n\gt84.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},

the sum

\dfrac{41}{42}+\dfrac1n

lies strictly between

0

and

2,

so it must equal

1.

Then

\dfrac1n=\dfrac1{42},

giving

n=42.

Now

2,

3,

6,

and

7

all divide

42,

but

n\gt84

is false. The untrue statement is

n\gt84.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B Problema 4

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años