2002 AMC 12B Problema 12

Question

¿Para cuántos enteros

n

es

\dfrac{n}{20-n}

el cuadrado de un entero?

For how many integers

n

is

\dfrac{n}{20-n}

the square of an integer?

1

2

3

4

10

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado perfecto divisibilidad

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pon

\dfrac{n}{20-n}=k^2

y despeja

n

en términos de

k

.

Set

\dfrac{n}{20-n}=k^2

and solve for

n

in terms of

k

Pista grande:

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}

; como

\gcd(k^2,k^2+1)=1,

k^2+1

debe dividir a

20

.

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}

; since

\gcd(k^2,k^2+1)=1,

k^2+1

must divide

20

Solución:

Sea

\dfrac{n}{20-n}=k^2.

Al resolver,

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.

Como

k^2

y

k^2+1

son coprimos,

k^2+1

debe dividir a

20,

lo que solo ocurre para

|k|=0,1,2,3.

Los signos de

k

no cambian

n;

estos valores dan

n=0,

10,

16,

y

18,

cuatro valores en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set

\dfrac{n}{20-n}=k^2.

Solving,

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.

Since

k^2

and

k^2+1

are coprime,

k^2+1

must divide

20,

which happens only for

|k|=0,1,2,3.

The signs of

k

do not change

n;

these give

n=0,

10,

16,

and

18,

which is four values.

Thus, the correct answer is D.