2001 AMC 12 Problema 25

Question

Considera sucesiones de números reales positivos de la forma

x,

2000,

y,

\ldots,

en las que cada término después del primero es

1

menos que el producto de sus dos vecinos inmediatos. ¿Para cuántos valores diferentes de

x

aparece el término

2001

en algún lugar de la sucesión?

Consider sequences of positive real numbers of the form

x,

2000,

y,

\ldots,

in which every term after the first is

1

less than the product of its two immediate neighbors. For how many different values of

x

does the term

2001

appear somewhere in the sequence?

1

2

3

4

más de

4

more than

4

Respuesta: D

Conceptos:recursión análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La condición

b = ac - 1

se reordena a

c = \dfrac{1 + b}{a},

lo que te permite avanzar

The condition

b = ac - 1

rearranges to

c = \dfrac{1 + b}{a},

letting you march forward

Pista grande:

Hacer esto repetidamente muestra que la sucesión es periódica con periodo

5,

así que

2001

solo puede ser uno de cinco términos

Doing this repeatedly shows the sequence is periodic with period

5,

so

2001

can only be one of five terms

Solución:

Si

a, b, c

son términos consecutivos, entonces

b = ac - 1,

así que

c = \dfrac{1 + b}{a}.

Aplicando esto repetidamente, los primeros cinco términos son

a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},

después de lo cual

a

y

b

reaparecen, así que la sucesión es periódica con periodo

5.

Aquí

b = 2000

es el segundo término. Al igualar a

2001

cada uno de los otros cuatro términos mostrados se obtiene, respectivamente,

\begin{gathered} a=2001,\quad a=1,\\ a=\frac{2001}{4001999},\quad a=4001999. \end{gathered}

Estos cuatro valores son positivos y distintos. El segundo término vale

2000,

y la periodicidad muestra que no hay otras posiciones que considerar.

Así que hay

4

valores de

x.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If

a, b, c

are consecutive terms then

b = ac - 1,

so

c = \dfrac{1 + b}{a}.

Applying this repeatedly, the first five terms are

a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},

after which

a

and

b

recur, so the sequence is periodic with period

5.

Here

b = 2000

is the second term. Setting each of the other four displayed terms equal to

2001

gives, respectively,

\begin{gathered} a=2001,\quad a=1,\\ a=\frac{2001}{4001999},\quad a=4001999. \end{gathered}

These four values are positive and distinct. The second term itself is

2000,

and periodicity shows there are no other positions to consider.

So there are

4

values of

x.

Thus, the correct answer is D.