2000 AMC 12 Problema 13

Question

Una mañana, cada miembro de la familia de Angela bebió una mezcla de

8

onzas de café con leche. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero nunca eran cero. Angela bebió un cuarto de la cantidad total de leche y un sexto de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?

One morning each member of Angela’s family drank an

8

-ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

3

4

5

6

7

Respuesta: C

Conceptos:fracción ecuación lineal acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Supón que la propia taza de Angela contiene

c

unidades de café y

m

unidades de leche con

c + m = 1

.

Suppose Angela’s own cup contains

c

units of coffee and

m

units of milk with

c + m = 1

Pista grande:

Entonces el total de la familia es

6c

de café y

4m

de leche, así que el número de personas es

6c + 4m

.

Then the family total is

6c

coffee and

4m

milk, so the number of people is

6c + 4m

Solución:

Medimos las cantidades en tazas de

8

onzas, así que la taza de Angela contiene

c

de café y

m

de leche con

c + m = 1.

Como Angela bebió un sexto del café, el café total es

6c

; como bebió un cuarto de la leche, la leche total es

4m.

El número de personas es igual al número total de tazas,

\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}

Esto es un entero solo cuando

2c

es un entero, y como

0 \lt c \lt 1

esto obliga a

c = \tfrac12,

dando

4 + 1 = 5

personas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Measure amounts in

8

-ounce cups, so Angela’s cup holds

c

coffee and

m

milk with

c + m = 1.

Since Angela drank a sixth of the coffee, the total coffee is

6c

; since she drank a quarter of the milk, the total milk is

4m.

The number of people equals the total number of cups,

\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}

This is an integer only when

2c

is an integer, and since

0 \lt c \lt 1

this forces

c = \tfrac12,

giving

4 + 1 = 5

people.

Thus, the correct answer is C.