1999 AMC 12 Problema 13

Question

Define una sucesión de números reales

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

mediante

a_1 = 1

y

a_{n+1}^3 = 99 a_n^3

para todo

n \ge 1.

Entonces

a_{100}

es igual a

Define a sequence of real numbers

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

by

a_1 = 1

and

a_{n+1}^3 = 99 a_n^3

for all

n \ge 1.

Then

a_{100}

equals

33^{33}

33^{99}

99^{33}

99^{99}

ninguna de las anteriores

none of these

Toma raíces cúbicas:

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n

Take cube roots:

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n

Es geométrica con razón

\sqrt[3]{99},

así que

a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}

This is geometric with ratio

\sqrt[3]{99},

so

a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}

Tomando raíces cúbicas,

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,

así que la sucesión es geométrica con primer término

1

y razón

\sqrt[3]{99}.

Entonces

a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking cube roots,

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,

so the sequence is geometric with first term

1

and ratio

\sqrt[3]{99}.

Then

a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.

Thus, the correct answer is C.

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