1999 AMC 12 Problema 12

Question

¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de las gráficas de dos funciones polinómicas de cuarto grado diferentes

y = p(x)

y

y = q(x),

cada una con coeficiente principal

1

?

What is the maximum number of points of intersection of the graphs of two different fourth degree polynomial functions

y = p(x)

and

y = q(x),

each with leading coefficient

1?

1

2

3

4

8

Respuesta: C

Conceptos:polinomio conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Las intersecciones ocurren donde

p(x) = q(x)

.

Intersections occur where

p(x) = q(x)

Pista grande:

Los términos principales

x^4

se cancelan en

p(x) - q(x)

.

The leading

x^4

terms cancel in

p(x) - q(x)

Solución:

Las coordenadas

x

de los puntos de intersección son las raíces de

p(x) - q(x).

Como ambos coeficientes principales son

1,

los términos

x^4

se cancelan, así que

p(x) - q(x)

tiene grado a lo sumo

3

y por lo tanto a lo sumo

3

raíces. La cota se alcanza, por ejemplo tomando

p(x) = x^4

y

q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1),

cuyas gráficas se intersecan en

x = -1, 0, 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The

x

-coordinates of the intersection points are the roots of

p(x) - q(x).

Because both leading coefficients are

1,

the

x^4

terms cancel, so

p(x) - q(x)

has degree at most

3

and therefore at most

3

roots. The bound is attainable, for example by taking

p(x) = x^4

and

q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1),

whose graphs intersect at

x = -1, 0, 1.

Thus, the correct answer is C.